Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài tập trắc nghiệm trang 63, 64, 65, 66, 67, 68 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

Giải

Hình bình hành nội tiếp đường trong phải là hình chữ nhật.

Chọn (D).

Bài 2. Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.

(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

Giải

Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \(d = 2R\). Gọi \(x, y, z\) là các kích thước của hình hộp chữ nhật.

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\)

Áp dụng BĐT Cô – si cho 3 số dương ta có:

\(4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} = 3\root 3 \of {{V^2}} \)

\(\Rightarrow {V^2} \le {\left( {{{4{R^2}} \over 3}} \right)^3}\)

\(V\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = z\).

Chọn (B).

Bài 3. Một hình cầu có thể tích \({4 \over 3}\pi \) ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?

(A) \({{8\sqrt 3 } \over 9}\) (B) \({8 \over 3}\) (C) 1 (D) \(2\sqrt 3 \)

Giải

Giả sử bán kính mặt cầu là \(R\) và cạnh hình lập phương là a thì thể tích khối cầu là \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = 1\) và \(4{R^2} = 3{a^2} = 4 \Rightarrow a = {2 \over {\sqrt 3 }}\)

Thể tích khối lập phương là \(V = {a^3} = {\left( {{2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^3} = {8 \over {3\sqrt 3 }} = {{8\sqrt 3 } \over 9}\).

Chọn (A).

Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Giải

Hình chóp có đáy là tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp thì đáy phải là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Chọn (D).

Bài 5. Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)

(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).

(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).

(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).
(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).

Giải

Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD, AA’\) là đường cao xuất phát từ \(A\) của tứ diện \(ABCD\). Ta có:

\(\eqalign{
& AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr
& \Rightarrow GA = GB = GC = GD = {3 \over 4}AA' = {{a\sqrt 6 } \over 4} \cr} \)

Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} \cr&+ {\left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} = 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2} \cr& - 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow M{G^2} = {{{a^2}} \over 2} - G{A^2} = {{{a^2}} \over 8} \Rightarrow MG = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)

Tập hợp các điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(G\) bán kính \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) . Chọn (B).

Bài 6. Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) là:

(A) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) (C) \(a\sqrt 2 \) (D) \(2a\sqrt 2 \)

Giải

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện đều \(ABCD\).

\(I\) là trung điểm của \(MN\) thì \(I\) cách đều \(6\) cạnh tứ diện nên \(I\) là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.

Bán kính mặt cầu: \(R = {{MN} \over 2}\)

Ta có: \(M{N^2} = A{N^2} - M{A^2} \)

\(= A{D^2} - N{D^2} - M{A^2} \)

\(= {a^2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \Rightarrow MN = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\).

Chọn (B).

Bài 7. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.

(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.

(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.

(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Giải

Chon D.

Bài 8. Cho hai điểm \(A, B\) phân biệt. Tập hợp các điểm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) không đổi là:

(A) Hai đường thẳng song song; (B) Một mặt cầu;

(C) Một mặt trụ; (D) Một mặt nón.

Giải

Tập hợp các điểm \(M\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(AB\) không đổi.

Chọn (C).

Bài 9. Cho hai điểm phân biệt \(A, B\) cố định và phân biệt. Một đường thẳng \(l\) thay đổi luôn đi qua \(A\)

và cách \(B\) một khoảng \({{AB} \over 2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(l\). Tập hợp điểm \(H\) là:

(A) Một mặt phẳng; (B) Một mặt trụ;

(C) Một mặt nón; (D) Một đường tròn.

Giải

\(\sin \widehat {HAB} = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {HAB} = {30^0}\)

Tập hợp \(l\) là mặt nón có trục AB, đường sinh \(l\), góc ở đỉnh là \({60^0}\). Gọi \(I\) là hình chiếu của H lên AB.

Ta có: \(BI = BH.cos{60^0} = {{AB} \over 4} \Rightarrow I\) cố định.

\( \Rightarrow H\) thuộc mặt phẳng qua \(I\) vuông góc với \(AB\). Vậy tâp hợp \(H\) là đường tròn.

Chọn (D).

Bài 10. Với điểm \(O\) cố định thuộc mặt phẳng \((P)\) cho trước, xét đường thẳng \(l\) thay đổi đi qua \(O\) và tạo với \((P)\) góc \(30^0\) Tập hợp các đường thẳng \(l\) trong không gian là:

(A) Một mặt phẳng; (B) Hai đường thẳng;

(C) Một mặt trụ; (D) Một mặt nón.

Giải

Chọn D.

Bài 11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\), đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng \(AB\) thay đổi sao cho góc giữa \(AB\) và trục hình trụ bằng \(30^0\). \(A, B\) thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm \(I\) của \(AB\) là:

(A) Một mặt trụ; (B) Một mặt cầu;

(C) Một đường tròn; (D) Một mặt phẳng.

Giải

Gọi \(A’\) là hình chiếu của \(A\) xuống mặt phẳng đáy thì \(AA’ = OO’\). Gọi \(I, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OO’, AB\) và \(AA’\).

Ta có: \(IA = IB\) và \(IM \bot AB\).

Mp(IMN) qua \(I\) và song song với hai mặt phẳng đáy.

Ta có: \(MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\)

\( \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Vậy tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nằm trong mp\((IMN)\).
Chọn (C).

Bài 12. Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho \(\widehat {AMB} = {90^0}\). Khi ấy, tập hợp điểm M là:

(A) Một đường tròn; (B) Một mặt trụ;

(C) Một mặt nón; (D) Một mặt cầu.

Giải

Tập hợp M là một mặt nón đỉnh O.

Chọn (C).

Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh AA’ bằng:

(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \) (B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)

(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \) (D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)

Giải

Hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh \(AA' \) có bán kính đáy \(A'C'=a\sqrt 2\) và độ dài đường sinh \(AC' = a\sqrt 3 \) nên diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = {1 \over 2}2\pi a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \pi {a^2}\sqrt 6 \)

Chọn (A).

Bài 14. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:

(A) Một mặt nón cố đinh; (B) Một mặt phẳng cố đinh;

(C) Một mặt trụ cố định; (D) Một đường tròn cố đinh.

Giải

Gọi I là trung điểm AB ta có \(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Tập hợp I là đường tròn tâm O bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi O’ là trung điểm SO và M là trung điểm của SI thì \(MO' = {1 \over 2}OI = {{a\sqrt 3 } \over 4}\)

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 4}\) nằm trong mặt phẳng qua O’ và song song với mặt phẳng đáy.

Chọn (D).

Bài 15. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng \(mp\left( \alpha \right)\) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước (h<R). Khi ấy, \(mp\left( \alpha \right)\) có tính chất:

(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;

(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;

(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;

(D) Cả ba tính chất trên đều sai.

Giải

\(mp\left( \alpha \right)\) luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định đường cao OO’ bán kính đáy h.

Chọn (A).

Bài 16. Một khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt 3 \), chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:

(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\) (B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(C) \({4 \over 3}\sqrt 6 \pi {a^3}\) (D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)

Giải

Đường kính khối cầu ngoại tiếp khối trụ là \(d = 2R = \sqrt {{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a\sqrt 6 \)

\(\Rightarrow R = a\sqrt 6 \)

Thể tích khối cầu là \(V = {4 \over 3}\pi {\left( {a\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi {a^3}\sqrt 6 \).

Chọn (A).
Bài 17.Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là

(A) \(\sqrt 3 \) (B) \(2\sqrt 3 \) (C) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \({{2\sqrt 3 } \over 3}\)

Giải

Gọi AB là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón, I là tâm đường tròn đáy của hình nón \(AI = \sqrt {A{C^2} - C{I^2}} = \sqrt 3 \)

\(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(A{C^2} = AI.AB \Rightarrow AB = {{A{C^2}} \over {AI}} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\)

\( \Rightarrow R = {{AB} \over 2} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\). Chọn (D).

Bài 18. Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là

(A) \({{a\sqrt 3 } \over 4}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)

(C) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Giải

Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = \pi {a^2}{3 \over 4}\)

Diện tích mặt cầu bán kính R là \(4\pi {R^2}\).

Suy ra \(4\pi {R^2} = \pi {a^2}{3 \over 4} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\).

Chọn (A).

Bài 19. Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

(A) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\) (B) \({{a\root 3 \of 3 } \over 8}\)

(C) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 8}\) (D) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 2}\)

Giải

Chiều cao của khối nón là \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) và bán kính đáy bằng \({a \over 2}\) nên

\({V_n} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\)

Thể tích khối cầu bán kính R là \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\).

Do đó \({{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} = {4 \over 3}\pi {R^3} \Leftrightarrow {R^3} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {32}} \)

\(\Rightarrow R = {{a\root 3 \of {\sqrt 3 } } \over {\root 3 \of {32} }} = {{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)

Chọn (A).

Bài 20. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng \(90^0\). cắt hình nón bằng mặt phẳng (a) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (a) và mặt đáy hình nón bằng \(60^0\) . Khi đó diện tích thiết diện là

(A) \({{\sqrt 2 } \over 3}{a^2}\) (B) \({{\sqrt 3 } \over 2}{a^2}\)

(C) \({2 \over 3}{a^2}\) (D) \({3 \over 2}{a^2}\)

Giải

\(\eqalign{
& OS = {1 \over 2}AB = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr
& SI = {{SO} \over {\sin {{60}^0}}} = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} \cr
& OI = SO.\cot {60^0} = {{a\sqrt 2 } \over {2\sqrt 3 }} \cr
& \Rightarrow IC = \sqrt {O{C^2} - I{O^2}} = \sqrt {{{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 6}} = {a \over {\sqrt 3 }} \cr
& S = {1 \over 2}SI.2IC = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}.{a \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 } \over 3}{a^2} \cr} \)

Chọn (A).

Bài 21. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc \(60^0\). Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

(A) \({{3\pi {a^2}} \over 2}\) (B) \({{3\pi {a^2}} \over 4}\)

(C) \({{3\pi {a^2}} \over 6}\) (D) \({{3\pi {a^2}} \over 8}\)

Giải

Bán kính đường tròn đáy của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

\(\eqalign{
& R = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \cos {60^0} = {{BO} \over {SB}} \cr
& \Rightarrow SB = {{BO} \over {\cos {{60}^0}}} = 2{{a\sqrt 2 } \over 2} = a\sqrt 2 \cr} \)

Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = {1 \over 2}.2\pi Rl = \pi {{a\sqrt 2 } \over 2}a\sqrt 2 = \pi {a^2}\)

Diện tích hình tròn đáy hình nón là \({S_d} = \pi {R^2} = \pi {{{a^2}} \over 2}\)

Diện tích toàn phần \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi {a^2} + {{\pi {a^2}} \over 2} = {{3\pi {a^2}} \over 2}\)

Chọn (A).

Bài 22. Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là

(A) \({2 \over 3}\) (B) \({3 \over 2}\) (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)

Giải

Thể tích khối cầu bán kính R là \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)

Thể tích khối trụ \({V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3} \Rightarrow {{{V_c}} \over {{V_t}}} = {2 \over 3}\).

Chọn (A).

Bài 23. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là

(A) \({{5{R^2}} \over 2}\) (B) \(5{R^2}\)

(C) \({{5{R^2}\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \(5{R^2}\sqrt 2 \)

Giải

Gọi C’ là hình chiếu của C trên đáy hình trụ. Khi đó ta có \(AB \bot BC'\) (vì \(AB \bot BC\)).

Vậy \(AC’ = 2R\).

Ta có: \(BC{'^2} = 4{R^2} - A{B^2} = A{B^2} - {R^2} \Rightarrow A{B^2} = {5 \over 2}{R^2}.\)

Chọn (A).

Bài 24. Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c.. Thể tích của khối trụ là

(A) \({1 \over 4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)

(B) \({1 \over 4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)

(C) \({1 \over 4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

(D) \({1 \over 4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\) hoặc \({1 \over 4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\) hoặc \({1 \over 4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

Giải

Nếu khối trụ có bán kính đáy là \(R = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và chiều cao là c thì có thể tích \(V = {1 \over 4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\). Vai trò của a, b, c như nhau nên chọn (D).

Bài 25. Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là

(A) \({{\sqrt 3 } \over {27}}\pi {a^3}\) (B) \({{\sqrt 6 } \over {27}}\pi {a^3}\)

(C) \({{\sqrt 3 } \over 9}\pi {a^3}\) (D) \({{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\)

Giải

Khối nón có bán kính đường tròn đáy \(R = {{a\sqrt 3 } \over 3}\) và chiều cao \(h = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {a \over 3}\sqrt 6 \) nên có thể tích \(V = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{\sqrt 6 } \over {27}}\pi {a^3}\).

Chọn (B).

Bài 26. Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng \(120^0\). Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất ?

(A) Có 1 vị trí ; (B) Có 2 vị trí ;

(C) Có 3 vị trí ; (D) Có vô số vị trí.

Giải

Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón ta có \(SA = SM = l\).

Ta có: \({S_{\Delta SAM}} = {1 \over 2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = {1 \over 2}{l^2}\sin \widehat {ASM}\)

Để diện tích tam giác SAM lớn nhất thì \(\sin \widehat {ASM} = 1 \Rightarrow \widehat {ASM} = {90^0}\).

Vì góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) nên có 2 vị trí thỏa mãn \(\widehat {ASM} = {90^0}\).

Chọn (B).

                                                                             congdong.edu.vn