Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 27, 28, 29, 30 trang 205, 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 27 trang 205 SGK giải tích 12 nâng cao
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\,z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)
\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\)
Giải
\(\eqalign{ & a)\,\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right) \cr & - z = - r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr&= r\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right) \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr & k.z = kr\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = - kr\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\)
\(= 2\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z = 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\)
\( - z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\)
\({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
\(\eqalign{ & kz = 2k\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = - 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
Bài 28 trang 205 SGK giải tích 12 nâng cao
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
\(\eqalign{
& a)\,\,1 - i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,(1 - i\sqrt 3 )(1 + i);\,\,{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b)\,\,2i\left( {\sqrt 3 - i} \right); \cr
& c)\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d)\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R) \cr} \)
Giải
\(\eqalign{
& a)\,\,1 - i\sqrt 3 = 2\left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \cr&= 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right);\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= \sqrt 2 \left( {\cos \left( {{\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4}} \right)} \right);\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,(1 - i\sqrt 3 )(1 + i) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right).\cr&\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right) \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 4} - {\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over {12}}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right)} \right];\,\, \cr
& {{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}\cr& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right) + i\sin \left( { - {7 \over {12}}\pi } \right)} \right]; \cr
& b)\,\,2i = 2\left( {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt 3 - i} \right) = 2\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}i} \right)\cr& = 2\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)} \right]; \cr
& \,\,\,\,\,\,\,2i\left( {\sqrt 3 - i} \right) \cr&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over 6}} \right)} \right] \cr
&= 4\left[ {\cos \left( {{\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( {{\pi \over 3}} \right)} \right] \cr
& c)\,\,2 + 2i = 2\sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) \cr&= 2\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)\, \cr
& \Rightarrow {1 \over {2 + 2i}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)} \right] \cr
& d)\,z = \,\sin \varphi + i\cos \varphi \cr&= \,\cos \left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right) + i\sin\left( {{\pi \over 2} - \varphi } \right)(\varphi \in \mathbb R) \cr} \)
Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính
\(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Giải
Theo nhị thức Niu-tơn ta có:
\({\left( {1 + i} \right)^{19}} = (C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^2} + ... + C_{19}^{16}{i^2} \)
\(+ C_{19}^{18}{i^2}) + (C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + ... + C_{19}^{19})\)
Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr&= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
& = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = - {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} =- {2^9} \cr&= - 512. \cr} \)
Bài 30 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao
Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z' = \left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)
a) Tính \({{z'} \over z};\)
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\). Tính số đo đó.
Giải
\(a)\,{{z'} \over z} = {{\left[ {3 - \sqrt 3 + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i} \right]\left( {3 - i} \right)} \over {10}} = 1 + \sqrt 3 i\)
b) Xét tia Ox thì ta có: \(sđ\left( {OM,OM'} \right) = sđ\left( {Ox,OM'} \right) - sđ\left( {Ox,OM} \right)\)
\( = \varphi ' - \varphi = acgumen{{z'} \over z}\) (sai khác \(k2\pi \))
(trong đó \(\varphi \) và \(\varphi '\) theo thứ tự là acgumen của z và z’).
Từ đó do \({{z'} \over z} = 1 + \sqrt 3 i\) có acgumen là \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\), nên góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\) có số đo \({\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
congdong.edu.vn