Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 14, 15, 16 trang 53, 54 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
Giải

Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng d.
Gọi Δ là đường thẳng đi qua O và song song với d. Nếu d′ là tiếp tuyến của mặt cầu và d′//d thì d′ cách Δ một khoảng không đổi R. Vậy d′ nằm trên mặt trụ có trục Δ và có bán kính bằng R.
Bài 15 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao
Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Giải

Mặt phẳng đi qua OO′ của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2R, do đó bán kính đáy bằng R và đường sinh AD=2R.
a) Ta có:
Sxq=2π.R.2R=4πR2Stp=Sxq+2Sday=4πR2+2πR2=6πR2
b) Thể tích của khối trụ là V=πR2.2R=2πR3.
c) Hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ là hình lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2R và có đáy là hình vuông cạnh R√2 nên có thể tích VLT=2R2.2R=4R3.
Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12 Nâng cao
Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao R√3.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tình thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Giải

a) Diện tích xung quanh của hình trụ
Sxq=2πR.R√3=2√3πR2
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp=Sxq+2Sday=2√3πR2+2πR2
=2(√3+1)πR2
b) Thể tích của khối trụ V=πR2.R√3=√3πR3.
c) Gọi O và O′ là tâm của hao đường tròn đáy.
Kẻ AA′//OO′ (A’ nằm trên đáy dưới hình trụ)
Ta có: O′A′=R,AA′=R√3 và ^BAA′=300.
Vì OO′//(ABA′) nên khoảng cách giữa OO′ và AB bằng khoảng cách giữa OO′ và (ABA′).
Kẻ OH⊥A′B thì H là trung điểm của A′B (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) và O′H⊥(ABA′).
Trong tam giác vuông AA′B ta có:
tan300=AB′AA′⇒AB′=AA′.tan300
=R√3.1√3=R
Vậy tam giác BA′O′ là tam giác đều cạnh R nên O′H=R√32.
congdong.edu.vn