Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 24, 25, 26, 27 trang 102, 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)\);

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0; - 3} \right)\);

e) Đường thẳng đi qua \(N\left( {3;2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\);

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1;2;4} \right)\).

Giải

a) Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\)

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

b) Đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} + t \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr
y = {y_0} + t \hfill \cr
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\)

Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc \({{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\).

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

e) Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\) nên \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5;0} \right)\).

Vậy đường thẳng có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = 2 - 5t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\)

và có phương trình chính tắc là \({{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\)

Bài 25 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình : \({{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 1} = {{z + 2} \over 3}\)

Giải

a) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;2} \right)\). Đường thẳng cần tìm đi qua A(4; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;2} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 3 - 3t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và có phương trình chính tắc là \({{x - 4} \over 2} = {{y - 3} \over { - 3}} = {{z - 1} \over 2}\).
b) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\)
Đường thẳng cần tìm có phương trình \({{x + 2} \over 2} = {{y - 3} \over 1} = {{z - 1} \over 3}\) và

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr
y = 3 + t \hfill \cr
z = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Bài 26 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\,\,{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Mỗi điểm M(x; y; z) \( \in d\) có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M’(x; y; 0) , d’ là hình chiếu của d trên mp(Oxy). Vậy d’ có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 +2 t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) và

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 8 + 4t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Giải

a) Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d.
b) Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\). \(Mp\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)
c) Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (P):

\(\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).
d’ có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = - 8 + 4t \hfill \cr
y = 15 + 5t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\)

                                                                                                congdong.edu.vn