Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Bài 40, 41, 42 trang 43, 44 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Giải
a) Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \cr} \)
\(\eqalign{
& y'' = 6x + 6 \cr
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr} \)
Điểm uốn \(I(-1;-2)\)
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.
b) \(y'(-1)=-3\)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại \(I(-1;-2)\) là:
\(y=-3(x+1)+(-2) \Leftrightarrow y = - 3x - 5\)
c) Đồ thị nhận \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y\left( { - 1 + x} \right) + y\left( { - 1 - x} \right) = 2.\left( { - 2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {\left( { - 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 + x} \right)^2} - 4 + {\left( { - 1 - x} \right)^3} \cr&\;\;\;+ 3{\left( { - 1 - x} \right)^2} - 4 = - 4 \cr
& \Leftrightarrow - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 - 1 \cr&\;\;\;- 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 = - 4 \cr
& \Leftrightarrow - 4 = - 4\,\,\forall x \cr} \)
\(\Leftrightarrow I(-1;-2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\).
b) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \( - {x^3} + 3{x^2} - 1 = m\)
Giải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr
& y' = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \cr
x = 2;\,y\left( 2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:
Hàm đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -1\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\), giá trị cực đại \(y(2) = 3\).
Đồ thị: \(y'' = - 6x + 6;\,\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = 1\)
Xét dấu y”:
\(I(1;1)\) là điểm uốn của đồ thị
Điểm đặc biệt:
\(x = 0 \Rightarrow y = - 1\)
\(x = - 1 \Rightarrow y = 3\)
b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\) với đường thẳng \(y = m\) cùng phương với trục \(Ox\).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \(m < -1\) hoặc \(m > 3\) thì phương trình có \(1\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(-1 < m < 3\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.
Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)\(y = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} - 3x - {5 \over 3}\)
b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)
c) \(y = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2x - {2 \over 3}\)
d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)
Gỉải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = {x^2} - 2x - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( { - 1} \right) = 0;\,\,y\left( 3 \right) = {{ - 32} \over 3} \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(y'' = 2x - 2;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = - {{16} \over 3}\)
Xét dấu y”
Điểm uốn \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\)
Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 5} \over 3}\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 3;\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.;\cr&,y\left( { - 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = - 1 \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(y'' = 6x;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1\)
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn \(I(0;1)\)
Điểm đặc biệt:\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \)
\(y' = - {x^2} + 2x - 2 < 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Bảng biến thiên:
\(y'' = - 2x + 2;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = - 2\)
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn \(I(1;-2)\)
Điểm đặc biết:\(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 2} \over 3}\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;-2)\) làm tâm đối xứng.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
\(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = 1\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)
Bảng biến thiên:
Xét dấu \(y”\)
Điểm uốn \(I(1;2)\)
Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)
Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;2)\) làm tâm đối xứng.
congdong.edu.vn