Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Danh mục menu
Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 17, 18, 19 trang 195, 196 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:i;4i;4;1+43i.

Giải

* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của i, ta có:

(x+yi)2=ix2y2+2xyi=i

{x2y2=0(1)2xy=1(2)

Từ (2) suy ra y=12x thế vào (1) ta được:

x214x2=0x4=14x=±12

+) Với x=12ta có y=12x=12

+) Với x=12ta có y=12x=12

Hệ có hai nghiệm là: (12,12),(12,12)

Vậy i có hai căn bậc hai là: z1=12+12i,z2=1212i

* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 4i, ta có:

(x+yi)2=4ix2y2+2xyi=4i

{x2y2=0(1)xy=2(2)

Thay y=2x vào phương trình thứ nhất ta được:

x24x2=0x4=4x=±2

+) Với x=2 ta có y=2x=2;

+) Với x=2 ta có y=2

Hệ có hai nghiệm (2;2),(2;2)

Vậy 4i có hai căn bậc hai là:z1=2+2i; z2=22i

* Ta có 4=4i2=(2i)2 do đó 4 có hai căn bậc hai là ±2i

* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 1+43i.

(x+yi)2=1+43i

{x2y2=12xy=43{y=23xx212x2{y=23xx2=4{x=2y=3hoặc {x=2y=3

Hệ có hai nghiệm (2;3),(2;3)

Vậy 1+43i có hai căn bậc hai là:z1=2+3i,z2=23i

Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì |z|=|w|.

Giải

Giả sử z=x+yiw=a+bi

z là một căn bậc hai của số phức w thì z2=w

(x+yi)2=a+bix2y2+2xyi=a+bi{x2y2=a2xy=b{(x2y2)2=a24x2y2=b2a2+b2=x4+y4+2x2y2=(x2+y2)2a2+b2=x2+y2

|z|2=|w||z|=|z|2=|w|

Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) z2=z+1;

b) z2+2z+5=0

c) z2+(13i)z2(1+i)=0.

Giải

a) Ta có z2=z+1z2z=1z2z+14=54

(z12)2=54z12=±52z=12±52

b) z2+2z+5=0(z+1)2=4=(2i)2

[z+1=2iz+1=2i[z=1+2iz=12i

Vậy S={1+2i;12i}

c) z2+(13i)z2(1+i)=0 có biệt thức

Δ=(13i)2+8(1+i)=196i+8+8i

=2i=(1+i)2

Do đó phương trình có hai nghiệm là: z1=12[1+3i+(1+i)]=2i

z2=12[1+3i(1+i)]=1+i

Vậy S={2i;1+i}

                                                                           congdong.edu.vn


Giáo trình
Thể loại: Lớp 12
Số bài: 120

Bạn cần hỗ trợ? Nhấc máy lên và gọi ngay cho chúng tôi -hotline@tnn.vn
hoặc

  Hỗ trợ trực tuyến

Giao hàng toàn quốc

Bảo mật thanh toán

Đổi trả trong 7 ngày

Tư vẫn miễn phí