Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 17, 18, 19 trang 195, 196 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:−i;4i;−4;1+4√3i.
Giải
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của −i, ta có:
(x+yi)2=−i⇔x2−y2+2xyi=−i
⇔{x2−y2=0(1)2xy=−1(2)
Từ (2) suy ra y=−12x thế vào (1) ta được:
x2−14x2=0⇔x4=14⇔x=±1√2
+) Với x=1√2ta có y=−12x=−1√2
+) Với x=−1√2ta có y=−12x=1√2
Hệ có hai nghiệm là: (−1√2,1√2),(1√2,−1√2)
Vậy –i có hai căn bậc hai là: z1=−1√2+1√2i,z2=1√2−1√2i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 4i, ta có:
(x+yi)2=4i⇔x2−y2+2xyi=4i
⇔{x2−y2=0(1)xy=2(2)
Thay y=2x vào phương trình thứ nhất ta được:
x2−4x2=0⇔x4=4⇔x=±√2
+) Với x=√2 ta có y=2x=√2;
+) Với x=−√2 ta có y=−√2
Hệ có hai nghiệm (√2;√2),(−√2;−√2)
Vậy 4i có hai căn bậc hai là:z1=√2+√2i; z2=−√2−√2i
* Ta có −4=4i2=(2i)2 do đó −4 có hai căn bậc hai là ±2i
* Giả sử z=x+yi là căn bậc hai của 1+4√3i.
(x+yi)2=1+4√3i
⇔{x2−y2=12xy=4√3⇔{y=2√3xx2−12x2⇔{y=2√3xx2=4⇔{x=2y=√3hoặc {x=−2y=−√3
Hệ có hai nghiệm (2;√3),(−2;−√3)
Vậy 1+4√3i có hai căn bậc hai là:z1=2+√3i,z2=−2−√3i
Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì |z|=√|w|.
Giải
Giả sử z=x+yi và w=a+bi
z là một căn bậc hai của số phức w thì z2=w
⇔(x+yi)2=a+bi⇔x2−y2+2xyi=a+bi⇔{x2−y2=a2xy=b⇔{(x2−y2)2=a24x2y2=b2⇒a2+b2=x4+y4+2x2y2=(x2+y2)2⇔√a2+b2=x2+y2
⇒|z|2=|w|⇒|z|=√|z|2=√|w|
Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
a) z2=z+1;
b) z2+2z+5=0
c) z2+(1−3i)z−2(1+i)=0.
Giải
a) Ta có z2=z+1⇔z2−z=1⇔z2−z+14=54
⇔(z−12)2=54⇔z−12=±√52⇔z=12±√52
b) z2+2z+5=0⇔(z+1)2=−4=(2i)2
⇔[z+1=2iz+1=−2i⇔[z=−1+2iz=−1−2i
Vậy S={−1+2i;−1−2i}
c) z2+(1−3i)z−2(1+i)=0 có biệt thức
Δ=(1−3i)2+8(1+i)=1−9−6i+8+8i
=2i=(1+i)2
Do đó phương trình có hai nghiệm là: z1=12[−1+3i+(1+i)]=2i
z2=12[−1+3i−(1+i)]=−1+i
Vậy S={2i;−1+i}
congdong.edu.vn