Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 15, 16, 17 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);
b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ;
c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) = - 5\left( {2;1;1} \right)\).
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:
\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)
b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \)
\(= \left( {1; - 4;0} \right)\)
(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:
\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)
\(Mp\left( \alpha \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)
Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)
e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)
Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \)
\(\Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)
Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).
h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :
\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)
Bài 16 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
a) \(x + 2y - z + 5 = 0\) và \(2x + 3y - 7z - 4 = 0\).
b) \(z - 2y + z - 3 = 0\) và \(2x - y + 4z - 2 = 0\).
c) \(x + y + z - 1 = 0\) và \(2x + 2y + 2z + 3 = 0\).
d) \(3x - 2y + 3z + 5 = 0\) và \(9x - 6y - 9z - 5 = 0\).
e) \(x - y + 2z - 4 = 0\) và \(10x - 10y + 20z - 40 = 0\).
Giải
a) Ta có \(1:2:\left( { - 1} \right) \ne 2:3:\left( { - 7} \right)\) nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.
b) \(1:\left( { - 2} \right):1 \ne 2:\left( { - 1} \right):4\) nên hai mặt phẳng cắt nhau.
c) \({1 \over 2} = {1 \over 2} = {1 \over 2} \ne {{ - 1} \over 3}\) nên hai mặt phẳng song song.
d) \(3:\left( { - 2} \right):3 \ne 9:\left( { - 6} \right):\left( { - 9} \right)\)nên hai mặt phẳng cắt nhau.
e) \({1 \over {10}} = {{ - 1} \over { - 10}} = {2 \over {20}} = {{ - 4} \over { - 40}}\) nên hai mặt phẳng trùng nhau.
Bài 17 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
a) \(2x + ny + 2z + 3 = 0\) và \(mx + 2y - 4z + 7 = 0\).
b) \(2x + y + mz - 2 = 0\) và \(x + ny + 2z + 8 = 0\).
Giải
a) Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\({2 \over m} = {n \over 2} = {2 \over { - 4}} \ne {3 \over 7} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = - 4 \hfill \cr
n = - 1 \hfill \cr} \right.\)
b) Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi:
\({2 \over 1} = {1 \over n} = {m \over 2} \ne {{ - 2} \over 8} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = 4 \hfill \cr
n = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
congdong.edu.vn