Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 42, 43, 44 trang 97 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 42 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm sai lầm trong lập luận sau:
Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\) và \(\ln \left( {2e} \right) = {\mathop{\rm lne}\nolimits} + lne = 1 + 1 = 2\).
Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà \(e \ne 0\) nên \(e = 2!\)
Giải
Sai từ \(\ln \left( {2e} \right) = \ln \left( {e + e} \right) = \ln e + \ln e\)
Không có kết quả: \(\ln \left( {x + y} \right) = {\mathop{\rm lnx}\nolimits} + {\mathop{\rm lny}\nolimits} \). (Sai)
Bài 43 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Biểu diễn các số sau đây theo a = ln2,b = ln5:
\(\ln 500;\ln {{16} \over {25}};ln6,25;\)
\(ln{1 \over 2} + \ln {2 \over 3} + ... + \ln {{98} \over {99}} + \ln {{99} \over {100}}\).
Giải
\(\ln 500 = \ln \left( {{2^2}{{.5}^3}} \right) = 2\ln 2 + 3\ln 5 = 2a + 3b;\)
\(\ln {{16} \over {25}} = \ln \left( {{2^4}{{.5}^{ - 2}}} \right) = 4\ln 2 - 2\ln 5 = 4a - 2b;\)
\(\ln6,25 = \ln \left( {{5^2}.0,{5^2}} \right) = 2\ln 5 + 2\ln 0,5 \)
\(= 2\ln 5 - 2\ln 2 = 2b - 2a;\)
\(\ln{1 \over 2} + \ln {2 \over 3} + ... + \ln {{98} \over {99}} + \ln {{99} \over {100}} \)
\(= \ln 1 - \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 + ... + \ln99 - \ln100\)
\( = - \ln100 = - \ln\left( {{2^2}{{.5}^2}} \right) \)
\(= - 2\ln 2 - 2\ln 5 = - 2a - 2b\).
Bài 44 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh:
\({7 \over {16}}\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) \)
\(- {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 0\)
Giải
Ta có \({7 \over {16}}\ln \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
\( = {7 \over {16}}\ln {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - {{25} \over 8}\ln {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\)
\( = {7 \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 4\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\)
\(+ {{25} \over 8}\ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 0\)