Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 11, 12, 13 trang 16, 17 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 11 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\);

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} - {{{x^3}} \over 3} + 2\);

f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.;\)

\(f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3};\,f\left( { - 3} \right) = - 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 3} \right) = - 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3}\)

b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ' < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị.
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = - 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr
- x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)

Với \(x > 0:\,f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)

Với \(x < 0:\,f'\left( x \right) = - 2x - 2\)

\(\,f'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1\); \(f\left( { - 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

e) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'\left( x \right) = {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = - 3 \hfill \cr
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = - 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)

Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \) b) \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

c) \(y = x - \sin 2x + 2\) d) \(y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\)

Giải

a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(y' = \sqrt {4 - {x^2}} + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y' = {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\,y' = 1 - 2\cos 2x;\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \)

\(\Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)

\(y'' = 4\sin 2x\)

* Ta có: \(y''\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = - {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại

\(y\left( { - {\pi \over 6} + k\pi } \right) = - {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

\(y''\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\sqrt 3 > 0\).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:

\(y\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = {\pi \over 6} + k\pi - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

d) Áp dụng quy tắc 2.

\(\,y' = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi \hfill \cr} \right.\)

\(y'' = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
\(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi \)

\(= 2\cos k\pi + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi - \cos 2k\pi = 2 - 2\cos k\pi \)

\(y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} \)

\(= 6\cos {{2\pi } \over 3} = - 3 < 0.\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:

\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).

Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\)

Giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)

\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)

\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:

\(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x;\)

\(f''\left( x \right) = - 12x + 6\)

\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\); \(f\left( 0 \right) = 0;f''\left( 1 \right) = - 6 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1;f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy \(a = - 2;b = 3;c = d = 0\).

                                                                                                       congdong.edu.vn