Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 5, 6, 7 trang 110, 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng: \(d:{x \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 6} \over 3}\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 2 + t \hfill \cr
3 - t \hfill \cr} \right.\).

a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.
b) Tìm khoảng cách giữa d và d’.
c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Giải

a) Đường thẳng đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;3} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {1; - 3; - 3} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 5;4; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 5.1 - 3.4 + 1.3 = - 14 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. Vì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Rightarrow d \bot d'\).

b) Gọi h là khoảng cách giữa d và d’, ta có:
\(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{14} \over {\sqrt {25 + 16 + 1} }} = {{\sqrt {42} } \over 3}\).
c) d có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 + 2t \hfill \cr
z = 6 + 3t \hfill \cr} \right.\).

Lấy điểm N(t; 1 + 2t; 6 + 3t)\( \in d\) và \(N'\left( {1 + t'; - 2 + t';3 - t'} \right) \in d'\).
NN’ là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow {u'} \). Ta có:

\(\overrightarrow {NN'} = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right)\)

Vậy \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(N'\left( {{2 \over 3}; - {7 \over 3};{{10} \over 3}} \right)\).
\(\overrightarrow {NN'} = \left( {{5 \over 3};{{ - 4} \over 3};{1 \over 3}} \right)\).
Phương trình đường vuông góc chung qua \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương nên có phương \(\overrightarrow v = 3\overrightarrow {NN'} = \left( {5; - 4;1} \right)\) trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 5t \hfill \cr
y = - 1 - 4t \hfill \cr
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

d) Giả sử đường thẳng \(\Delta \) song song với Oz, cắt d và d’ lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có \(A\left( {t;1 + 2t;6 + 3t} \right)\,,\,B\left( {1 + t', - 2 + t',3 - t'} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right).\)

Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên

\(1 + t' - t = - 3 + t' - 2t = 0 \Rightarrow \left\{ \matrix{
t = - 4 \hfill \cr
t' = - 5 \hfill \cr} \right.\).

Vậy \(A\left( { - 4; - 7; - 6} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;14} \right)\).
Vậy phương trình của \(\Delta \) là

\(\left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = - 7 \hfill \cr
z = - 6 + t \hfill \cr} \right.\)

Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr
y = 2 + 2t \hfill \cr
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\).

a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.
b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Giải

a) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;2; - 2} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 6; - 4;4} \right)\)

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {2; - 16; - 13} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \)

Vậy d và d’ đồng phẳng. \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) không cùng phương nên d và d’ cắt nhau. Mp(P) chứa d và d’ đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 16; - 13} \right)\) do đó (P) có phương trình là:

\(2\left( {x - 7} \right) - 16\left( {y - 2} \right) - 13\left( {z - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\)

b) Giao điểm của mp(P) với các trục tọa độ là: \(A\left( {{{ - 31} \over 2};0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;{{31} \over {16}};0} \right)\,\,;\,\,C\left( {0;0;{{31} \over {13}}} \right)\)
Thể tích tứ diện OABC là \(C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} = {{{{31}^3}} \over {2496}}.\)
c) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)

Vì

\(A,B,C \in \left( S \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\)

Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 6 + t \hfill \cr} \right.\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\)

                                                                                                 congdong.edu.vn