Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 57, 58, 59 trang 177 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 57 Trang 192 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(x - {y^2} = 0\) và các đường thẳng \(y = 2,x = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A.
a) Quanh trục hoành; b) quanh trục tung
Giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong \(y=\sqrt x\) và \(y=2\) là:
\(\sqrt x=2\Rightarrow x=4\)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \(Ox\) là:
\(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {{2^2} - x} \right)} dx = \left. {\pi \left( {4x - {{{x^2}} \over 2}} \right)} \right|_0^4 = 8\pi \)
b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh \(Oy\) là:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{y^4}dy} = \left. {{\pi \over 5}{y^5}} \right|_0^2 = {{32\pi } \over 5}\)
Bài 58 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(y = {x^{{1 \over 2}}}{e^{{x \over 2}}}\) và các đường thẳng \(x = 1,x = 2,y = 0.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành.
Giải
Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_1^2 {x.{e^x}} dx\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Do đó
\(V = \pi \left( {\left. {x{e^x}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {{e^x}dx} } \right) = \pi \left( {2{e^2} - e - {e^2} + e} \right) \)
\(= \pi {e^2}\)
Bài 59 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \({y^2} = {x^3}\) và các đường thẳng \(y = 0,x = 1.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A
a) Quanh trục hoành; b) Quanh trục tung.
Giải
a) Ta có \(y = \sqrt {{x^3}} \,\,\left( {y \ge 0} \right)\)
Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}dx = \left. {{{\pi {x^4}} \over 4}} \right|} _0^1 = {\pi \over 4}\)
b) Ta có \(x = \root 3 \of {{y^2}} \)
Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{1^2}-\root 3 \of {{y^4}} } \right)} dy = \left. {\pi \left( {y - {3 \over 7}{y^{{7 \over 3}}}} \right)} \right|_0^1 = {{4\pi } \over 7}.\)
congdong.edu.vn