Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài tập trắc nghiệm trang 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi trắc nghiệm chương III

Bài 1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:

(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)

(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)

Giải

MNPQ là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 - 2 = 0 - {x_Q} \hfill \cr
- 3 - 0 = 0 - {y_Q} \hfill \cr
0 - 0 = 4 - {z_Q} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr
{y_Q} = 3 \hfill \cr
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(2; 3; 4).

Chọn (C).

Bài 2. Cho ba điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\,\,,\,\,B\left( {1;0; - 1} \right)\,\,,\,\,C\left( {0; - 1;2} \right).\) Tam giác ABC là:

(A) Tam giác cân đỉnh A;

(B) Tam giác vuông đỉnh A;

(C) Tam giác đều;

(D) Không phải như (A), (B), (C).

Giải

Ta có

\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {-1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \cr
& BC = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \)

\(AC>BC>AB\)

Chọn (D)

Bài 3. Cho tam giác ABC có A=(1;0;1), B=(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:

(A) \(\sqrt {26} \) (B) \({{\sqrt {26} } \over 2}\) (C) \({{\sqrt {26} } \over 3}\) (D) 26

Giải

Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: \(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\)

Chọn (C).

Bài 4. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là \(\left( {1;1;1} \right)\,\,;\,\,\left( {2;3;4} \right)\,\,;\,\,\left( {6;5;2} \right).\) Diện tích hình bình hành đó bằng:

(A) \(2\sqrt {83} \) (B) \(\sqrt {83} \) (C) 83 (D) \({{\sqrt {83} } \over 2}\)

Giải

A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).

\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 2\sqrt {83} .\)

Chọn (A).

Bài 5. Cho \(A\left( {1;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {0;0;1} \right)\) và \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\). Thể tích của tứ diện ABCD là:

(A) 1 (B) 2 (C) \({1 \over 3}\) (D) \({1 \over 2}\)

Giải

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 1;0;1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {1;1;1} \right) \cr
& \overrightarrow {AD} \left( { - 3;1; - 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left( { - 3} \right) + 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) \cr&= - 3 \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \)

Chọn D

Bài 6. Cho \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\,\,;\,\,B\left( { - 4; - 2;0} \right)\,\,;\,\,C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)

Giải

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} \left( {4;0; - 3} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 3 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {0; - 25;0} \right) = - 25\left( {0;1;0} \right) \cr} \)

Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).

\( \Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).

Bài 7. Cho bốn điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\,\,,\,\,B\left( {1;2;1} \right)\,\,,C\left( {1;1;2} \right)\) và \(D\left( {2;2;1} \right).\) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

(A) \(\left( {{3 \over 2}, - {3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\) (B) \(\left( {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)

(C) \(\left( {3;3;3} \right)\) (D) \(\left( {3; - 3;3} \right).\)

Giải

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 2b - 4c + d = 0 \hfill \cr
9 - 4a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr
d = 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow I\left( {{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).

Chọn (B).

Bài 8. Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:

(A) 5 (B) 4 (C) \(\sqrt 5 \) (D) \({5 \over 2}.\)

Giải

Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).

Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \(R = II' = \sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.\)

Chọn (A).

Bài 9. Mặt cầu tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4;\)

(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1;\)

(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4;\)

(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2.\)

Giải

Mp(Oyz) có phương trình x = 0.

Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là \(R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)

Chọn (A).

Bài 10. Cho ba điểm \(A\left( {1;1;3} \right),\,\,B\left( { - 1;3;2} \right)\) và \(C\left( { - 1;2;3} \right).\)Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)

(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0;\)

(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0;\)

(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\).

Giải

Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;2} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)
Chọn (C).

Bài 11. Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right).\) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?

(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)

(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)

(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\)

(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)

Giải

Mp(ABC) \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\)
Chọn (C).

Bài 12. Cho hai điểm \(A\left( {1;3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\)

(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)

(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\)

(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)

Giải

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;6} \right).\)
Trung điểm AB là \(I\left( {0;{5 \over 2}; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có dạng: \( - 2\left( {x - 0} \right) - \left( {y - {5 \over 2}} \right) + 6\left( {z + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 4x + 2y - 12z - 17 = 0.\)
Chọn (A).

Bài 13. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 2.\) Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)

(C) \(\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)\) (D) \(\left( { - {1 \over 2}, - {1 \over 2}, - {1 \over 2}} \right)\).

Giải

Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Mp(ABC) đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) cố định.
Chọn (C).

Bài 14. Cho điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 6z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 3z = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);

(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);

(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);

(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).

Giải

\(A \in \left( Q \right)\) và (Q) // (P).
Chọn (A).

Bài 15. Cho điểm \(A\left( {1;2; - 5} \right)\). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

(A) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 1;\) (B) \(x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\)

(C) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 0;\) (D) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} + 1 = 0.\)

Giải

Ta có \(M\left( {1;0;0} \right);N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0; - 5} \right).\)
Mp(MNP): \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { - 5}} = 1.\)
Chọn (A).

Bài 16. Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) - 22 = 0\) và mặt phẳng (P): \(3x - 2y + 6z + 14 = 0.\) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:

(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.

Giải

Tâm I(1; 1; 1).
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {{\left| {3 - 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\)
Chọn (C).

Bài 17. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { - 1; - 3;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là:

(A) \(x + y - z - 5 = 0;\)

(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)

(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\)

(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)

Giải

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì \(G\left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right) \Rightarrow a = - 3,\,\,b = - 9,\,\,c = 6.\)
Mp(ABC): \({x \over { - 3}} + {y \over { - 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Chọn (D).

Bài 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó

\(\eqalign{
& A = \left( {0;0;0} \right)\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E = \left( {2;0;0} \right) \cr
& D = \left( {0;1;0} \right)\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A' = \left( {0;0;1} \right) \cr} \)

Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):

\({x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)
Bước 3. Khoảng cách \(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = {{\left| { - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.

Giải

Chon A

Bài 19. Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;5} \right)\) và \(B\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

(A) \(4x - z + 1 = 0\)

(B) \(4x + y - z + 1 = 0\)

(C) \(2x + z - 5 = 0\)

(D) \(y + 4z - 1 = 0.\)

Giải

Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\) với \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right).\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { - 1;1; - 4} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {4;0; - 1} \right) \cr} \)

Chon A

Bài 20. Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm \(A\left( {2; - 3;5} \right)\) có phương trình là:

(A) \(2x + 3y = 0;\) (B) \(2x - 3y = 0;\)

(C) \(3x + 2y = 0;\) (D) \(3x - 2y + z = 0.\)

Giải

Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\) với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right).\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left( {2; - 3;5} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,5 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( { - 3; - 2;0} \right) \cr} \)

Chọn C

Bài 21. Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y - 1 = 0.\) Điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\) (C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)

Giải

mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\).
\(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\)
Chọn (B).

Bài 22. Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:

(A) \(23x + 17y - z + 14 = 0\)

(B) \(23x - 17y - z + 14 = 0;\)

(C) \(23x + 17y + z - 60 = 0;\)

(D) \(23x - 17y + z - 14 = 0.\)

Giải

d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3,4,1} \right)\) và đi qua \(M\left( {0,1, - 3} \right).\)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

\(23x - 17y - z + 14 = 0\)
Chọn (B).

Bài 23.Cho hai đường thẳng

\({d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3}\,\,;\,\,\,{d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) \({d_1},{d_2}\) cắt nhau; (B) \({d_1},{d_2}\) trùng nhau;

(C) \({d_1}//{d_2}\); (D) \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.

Giải

\({d_1},{d_2}\) có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1,2,3} \right)\) và \(A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1},\) nhưng \(A \notin {d_2}.\) Vậy \({d_1}\) // \({d_2}\)
Chọn (C).

Bài 24.Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right.\) Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha \right)\) là:

(A) A(3; 0; 4) (B) \(A\left( {3; - 4;0} \right)\)

(C) \(A\left( { - 3;0;4} \right)\) (D) \(A\left( {3;0; - 4} \right)\).

Giải

Thay x, y, z từ d vào \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(1 + t + 3\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)
Vậy \(A\left( {3,0, - 4} \right).\)
Chọn (D).

Bài 25.Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - 2t \hfill \cr
y = - t \hfill \cr
z = 3 + t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B)

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 4 - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C)

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 4 + t\,; \hfill \cr} \right.\)

(D)

\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + t \hfill \cr
z = 2 + t\,. \hfill \cr} \right.\)

Giải

d đi qua \(M\left( {4, - 1,4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right).\)
Chọn (B).

Bài 26. Cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( {1;2;4} \right)\) và ba phương trình sau:

\(\left( I \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t\,; \hfill \cr} \right.\)

\(\left( {II} \right)\,\,{{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}};\)

\(\left( {III} \right)\,\,\left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 4 + 5t\,. \hfill \cr} \right.\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;

(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;

(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;

(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.

Giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1, - 1,5} \right).\)
Chọn (D).

Bài 27. Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\)

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;1;0} \right).\)

Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 3t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2. \hfill \cr} \right.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.

Giải

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 1, - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0, - 2,1} \right),\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3,0,0} \right).\)
Chọn (C).

Bài 28.Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của d là:
(A)

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B)

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C) \({x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};\)

(D)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = t\,. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1, - 1, - 3} \right).\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, - 1} \right).\)
Chọn (D).

Bài 29.Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 4 + 2t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0.\) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);

(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).

Giải

\(A\left( {3, - 1,4} \right),B\left( { - 1,0,2} \right) \in d\) và \(A,B \in \left( P \right).\)
Chọn (D).

Bài 30. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr
y = - 2 - t \hfill \cr
z = - 1 + 2t\,. \hfill \cr} \right.\)

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là

(A) \(\left( {2; - 3;1} \right);\) (B) \(\left( {2; - 3; - 1} \right);\)

(C) \((2; 3; 1)\); (D) \(\left( { - 2;3;1} \right).\)

Giải

Giả sử \(H\left( {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right)\) là hình chiếu của A trên d. Ta có \(\overrightarrow {AH} \)vuông góc với \(\overrightarrow u = \left( { - 4, - 1,2} \right)\) (là vectơ chỉ phương của d).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right).\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \)

\(\Leftrightarrow - 4\left( {5 - 4t} \right) + 3 + t + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(H\left( {2, - 3,1} \right).\)
Chọn (A).

Bài 31. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right).\)

Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right)\).

Bước 3: \(d\left( {AC,BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.

Giải

Bài toán trên đúng.
Chọn (A).

Bài 32. Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 3}.\) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \) bằng:

(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\)

(C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)

Giải

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right). \cr} \)

Chọn (D).

Bài 33. Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 6}.\) Độ dài vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) bằng:

(A) 10 (B) 5;

(C) 8; (D) \(5\sqrt 3 .\)

Giải

\(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.\)
Chọn (B).
Bài 34. Mặt phẳng \(2x - 3y + z - 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:

(A) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(B) \(\left( {1;0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(C) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;{1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0;1} \right);\)
(D) \(\left( {{1 \over 2};0;0} \right)\,\,,\,\,\left( {0; - {1 \over 3};0} \right)\,\,,\,\,\left( {0;0; - 1} \right).\)

Giải

\(\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2},x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \)

Chọn (A).

Bài 35. Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr
y = 5t \hfill \cr
z = {7 \over 5} + 3t\, \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0.\) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?

(A) \(\left( {5; - 51;39} \right);\)

(B) \(\left( {10; - 102; - 78} \right);\)

(C) \(\left( { - 5;51;39} \right);\)

(D) \(\left( {5;51;39} \right).\)

Giải

Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).

Bài 36. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;

Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),

\(M = \left( {{1 \over 2};0;1} \right),N\left( {1;{1 \over 2};0} \right),P\left( {0;1;{1 \over 2}} \right).\)
Bước 2: \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right),\)

\(\overrightarrow {MP} = \left( { - {1 \over 2};1; - {1 \over 2}} \right).\)

Bước 3:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;

(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.

Giải

Bài toán trên giải đúng

chọn A

Bài 37. Cho đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(B)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(C)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\)

(D)

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\,. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Phương trình tham số của trục Ox là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lấy \(P\left( {0,t,2 - t} \right) \in d\) và \(Q'\left( {t',0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\)
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {t', - t,t - 2} \right),\) d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0,1, - 1} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- t - t + 2 = 0 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(P\left( {0,1,1} \right),Q\left( {0,0,0} \right).\)
PQ có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right..\)

Chọn (D).

Bài 38. Cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 3z + 14 = 0\) và điểm \(M\left( {1; - 1;1} \right)\). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là

(A) \(\left( { - 1;3;7} \right);\)

(B) \(\left( {1; - 3;7} \right);\)

(C) \(\left( {2; - 3; - 2} \right);\)

(D) \(\left( {2; - 1;1} \right).\)

Giải

(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1, - 2, - 3} \right).\)
\(M'\left( {x,y,z} \right)\) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MM'} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr
{{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 7 \hfill \cr} \right..\)

Chọn (A).

Bài 39.Cho điểm \(A\left( {0; - 1;3} \right)\) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr
z = - t\,. \hfill \cr} \right.\)

Khoảng cách từ A đến d bằng:

(A) \(\sqrt 3 ;\) (B) \(\sqrt {14} ;\)

(C) \(\sqrt 6 ;\) (D) \(\sqrt 8 .\)

Giải

d đi qua \(M(1, 2, 0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2,0, - 1} \right).\)
Khoảng cách từ A đến d bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\)
Chọn (B).
Bài 40. Cho điểm \(M\left( { - 1;2; - 3} \right).\) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình \(mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:

(A) \(6x + 2y + 3z + 6 = 0;\)

(B) \(6x - 2y + 3z + 6 = 0;\)

(C) \(6x - 3y + 2z + 6 = 0;\)

(D) \(6x - 3y - 2z + 6 = 0.\)

Giải

\({M_1}\left( { - 1,2,3} \right),{M_2}\left( { - 1, - 2, - 3} \right),{M_3}\left( {1,2, - 3} \right);\)

\(mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) qua có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\)
Chọn (C).

Bài 41. Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 49.\) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

(A) \(6x + 2y + 3z = 0;\)

(B) \(2x + 3y + 6z - 5 = 0;\)

(C) \(6x + 2y + 3z - 55 = 0;\)

(D) \(x + 2y + 2z - 7 = 0.\)

Giải

(S) có tâm \(I\left( {1, - 3,2} \right),\) bán kính R = 7.
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.\)
Chọn (C).

Bài 42. Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\) Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?

(A) 0 ; (B) 1 ;

(C) 2 ; (D) 3.

Giải

Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có \(O \in \left( S \right).\)

Chọn (B).

                                                                                                     congdong.edu.vn