Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\) b) \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
c) \(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\) d) \(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)
Giải
a) \(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\)
\(= {x^2} + {2 \over x} + C\)
b) \(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\)
\(= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)
c) Đặt
\(\eqalign{
& u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr
& \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)dx = {2 \over 3}\int {\sin udu} }\cr&= - {2 \over 3}\cos u + C = - {2 \over 3}\cos \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right) + C\cr} \)
d) Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \Rightarrow du = - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \)
\(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx = - {1 \over 2}du\)
Do đó \(\int {{{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} dx = - {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}}} + C\)
\(= {1 \over {2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a) \(y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)\); b) \(y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\);
c) \(y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\); d) \(y = {x^2}{e^x}\).
Giải
a) Đặt \(u = {1 \over x} - 1 \Rightarrow du = - {1 \over {{x^2}}}dx \Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} = - du\)
Do đó \(\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)dx = - \int {\cos udu }\)
\(= - \sin u + C = - \sin \left( {{1 \over x} - 1} \right) + C\)
b) Đặt \(u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}\)
\(\int {{x^3}{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^3}dx = {1 \over 4}\int {{u^3}du = {{{u^4}} \over {16}} + C} } \)
\(= {1 \over {16}} {\left( {1 + {x^4}} \right)^4} + C\)
c) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x \over 3} \hfill \cr
dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over 3}dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra: \(\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}dx = {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx} } \)
\(= {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over {12}}{e^{2x}} + C \)
d) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} } \) (1)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx = x{e^x} - {e^x} + C} } \)
Từ (1) suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C} \)
\(= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C\)
Bài 43 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a) \(y = x{e^{ - x}}\); b) \(y = {{\ln x} \over x}\).
Giải
a) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - {e^{ - x}} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra \(\int {x{e^{ - x}}dx = - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} }\)
\(= - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C = - {e^{ - x}}\left( {x + 1} \right) + C \)
b) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\)
Do đó \(\int {{{\ln x} \over x}} dx = \int {udu = {{{u^2}} \over 2}} + C = {{{{(\ln x)}^2}} \over 2} + C\)
Bài 44 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm hàm số \(y = f(x)\) nếu biết \(dy = 12x{\left( {3{x^2} - 1} \right)^3}dx\) và \(f(1) = 3\).
Giải
Ta có \(y = f\left( x \right) = \int {dy = 12\int {x{{\left( {3{x^2} - 1} \right)}^3}dx} } \)
Đặt \(u = 3{x^2} - 1 \Rightarrow du = 6xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 6}\)
Do đó \(f\left( x \right) = 2\int {{u^3}} du = {{{u^4}} \over 2} + C = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} - 1} \right)^4} + C\)
Vì \(f\left( 1 \right) = 3\) nên \({1 \over 2}{2^4} + C = 3 \Rightarrow C = - 5\)
Vậy \(f\left( x \right) = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} - 1} \right)^4} - 5\)
congdong.edu.vn