Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 199 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 23 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nghiệm phức phương trình z+1z=k trong các trường hợp sau:
a) k=1;
b) k=√2
c) k=2i
Giải
z+1z=k
Ta có z+1z=k⇔z2−kz+1=0
Phương trình có hai nghiệm là z=k±δ2 trong đó δ là một căn bậc hai của Δ=k2−4
a) Với k=1 thì Δ=−3 khi đó z=1±√3i2
b) Với k=√2 thì Δ=−2 khi đó z=√2±√2i2=√22(1±i)
c) Với k=2i thì Δ=−8 khi đó z=2i±2√2i2=(1±√2)i
Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):
a)z3+1=0;
b) z4−1=0;
c) z4+4=0;
d) 8z4+8z3=z+1.
Giải
a) z3+1=0⇔(z+1)(z2−z+1)=0
Nghiệm của z+1=0 là z1=−1
z2−z+1=0⇔(z−12)2=−34=(√32i)2
⇔[z=12+√32i=z2z=12−√32i=z3
Vậy S={−1;12+√32i;12−√32i}
b) z4−1=0⇔(z2−1)(z2+1)=0
⇔[z2−1=0z2+1=0⇔[z=±1z=±i
Phương trình có 4 nghiệm z1=i,z2=−i,z3=1,z4=−1
c) z4+4=0⇔(z2+2i)(z2−2i)=0
Nghiệm của z2+2i=0 là các căn bậc hai của -2i, đó là z1=1−i,z2=−1+i
Nghiệm của z2−2i=0 là các căn bậc hai của 2i, đó là z3=1+i,z4=−1−i
Vậy z4+4=0 có bốn nghiệm z1,z2,z3,z4.
d) 8z4+8z3=z+1⇔(z+1)(8z3−1)=0
⇔(z+1)(2z−1)(4z2+2z+1)=0
Nghiệm của z+1=0 là z1=−1
Nghiệm của 2z−1=0 là z2=12
Nghiệm của 4z2+2z+1=0 hay (2z+12)2+34=0là z3=−14+√34i vàz4=−14−√34i
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệmz1,z2,z3,z4
Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):
z2+bz+c=0
nhận z=1+i làm một nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):
z3+az2+bz+c=0
nhận z=1+i làm nghiệm và cũng nhận z=2 là nghiệm.
Giải
a) 1+i là một nghiệm của phương trình z2+bz+c=0 khi và chỉ khi
(1+i)2+b(1+i)+c=0⇔2i+b+bi+c=0
⇔b+c+(2+b)i=0
⇔{b+c=02+b=0⇔{b=−2c=2
b) 1+i là một nghiệm của z3+az2+bz+c=0 khi và chỉ khi
(1+i)3+a(1+i)2+b(1+i)+c=0
⇔(b+c−2)+(2+2a+b)i=0
⇔{b+c−2=0(1)2a+b+2=0(2)
2 là nghiệm của z3+az2+bz+c=0 khi và chỉ khi 8+4a+2b+c=0(3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .{b+c=22a+b=−24a+2b+c=−8⇔{a=−4b=6c=−4
Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ+isinφ)2=cos2φ+isin2φ.
Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ+isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.
b) Tìm các căn bậc hai của √22(1−i) bằng hai cách nói ở câu a).
Giải
a) Với mọi φ ta có: (cosφ+isinφ)2=cos2φ−sin2φ+(2sinφcosφ)i
=cos2φ+isin2φ
Vậy các căn bậc hai của cos2φ+isin2φ là ±(cosφ+isinφ)
Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai củacos2φ+isin2φ ta giải hệ phương trình{x2−y2=cos2φ2xy=sin2φ
Rõ ràng hệ có các nghiệm (cosφ,sinφ),(−cosφ,−sinφ) do đó±(cosφ+isinφ) là hai căn bậc hai củacos2φ+isin2φ. Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.
b) √22(1−i)
=cosπ4−isinπ4=cos(−π4)+isin(−π4)
thì theo câu a) ,√22(1−i) có hai căn bậc hai là ±(cos(−π8)+isin(−π8))=±(cosπ8−isinπ8)
Mà cosπ8=√1+cosπ42=√1+√222=12√2+√2sinπ8=√1−cosπ42=√1−√222=12√2−√2
Vậy hai căn bậc hai cần tìm là ±12(√2+√2−i√2−√2)
Còn theo bài học, việc tìm các căn bậc hai của√22(1−i) đưa về việc giải hệ phương trình{x2−y2=√222xy=−√22
Hệ đó tương đương với {8x4−4√2x2−1=0y=−√24x⇔{x2=√2+24y=−√24x
nên có các nghiệm là: (√2+√22;−√2−√22),(−√2+√22;√2−√22)
Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.
congdong.edu.vn