Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 37, 38, 39 trang 208, 209 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 37 trang 208 SGK giải tích 12 nâng cao
Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau:
\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3}\,;\)
\(b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\)
\(c)\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)
Với x,y nào thì số phức đó là số thực?
Giải
\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3} = {2^3} - 3.2.3i\left( {2 - 3i} \right) - {\left( {3i} \right)^3} \)
\(= 8 - 18i\left( {2 - 3i} \right) + 27i = - 46 - 9i\)
Vậy phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).
\(\eqalign{ & b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} = {{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over 2} = {{1 + 5i} \over 2} = {1 \over 2} + {5 \over 2}i \cr & {{1 - i} \over {3 - 2i}} = {{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)} \over {13}} = {{5 - i} \over {13}} = {5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \cr} \)
Do đó \(\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\, ={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} - {1 \over {13}}i = {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\)
Vậy phần thực là \({{23} \over {26}}\), phần ảo là \({{63} \over {26}}\)
\(c)\,\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5 \)
\(= {x^2} - {y^2} - 2x + 5 + 2y\left( {x - 1} \right)i\)
Vậy phần thực là \({x^2} - {y^2} - 2x + 5\), phần ảo là \(2y\left( {x - 1} \right)\).
Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \(2y\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(x = 1\).
Bài 38 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao
Chứng minh rằng \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) thì số \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực (giả sử \(1 + z{\rm{w}} \ne 0\)).
Giải
Ta có \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\). Tương tự \(\overline {\rm{w}} = {1 \over {\rm{w}}}\)
Do đó \(\overline {\left( {{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}} \right)} = {{\overline z + \overline {\rm{w}} } \over {1 + \overline z .\overline {\rm{w}} }} = {{{1 \over z} + {1 \over {\rm{w}}}} \over {1 + {1 \over z}.{1 \over {\rm{w}}}}} = {{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\).
Suy ra \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực.
Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình sau trên C:
\(\eqalign{ & a)\,{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0; \cr & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \)
\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)
Giải
a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:
\(\eqalign{ & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} = - 4 = 4{i^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = 3i \hfill \cr z = - i \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)
b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = - 1 \Leftrightarrow iz + 3 = - z + 2i\)
\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z = - 3 + 2i\)
\(\Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)
Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)
\( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)
Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)
\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)
\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{ {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);
\(\Delta = - 5 - 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} = - 1 + i\).
Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);
\(\Delta = - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} = - 1 - i\)
Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)
congdong.edu.vn