Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 28, 29, 30, 31 trang 103, 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4}\,;\,d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 3 - 4t \hfill \cr
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).

Giải

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {3; - 1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {6; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right] = \left( {9;22; - 10} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'} = - 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.

Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 1 - 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Giải

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\)

\(\overrightarrow {AM'} = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\). Do đó:

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay:

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t = - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr
z = {t'} \hfill \cr} \right.\)

Giải

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
- 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr
{{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t' = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.

Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha \right)\). Vậy \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\)

\(Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\)

                                                                                                       congdong.edu.vn