Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 16, 17, 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao
Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)
Giải
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;- 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\; = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;= 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \)
Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = 1\)
\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)
Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\).
Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);
b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\);
c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);
e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);
f) \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);
Giải
a) \(D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = - 5;f\left( { - 1} \right) = - 6;f\left( 3 \right) = 10\).
Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \).
b)
\(D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( { - 4} \right) = - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) = - {{16} \over 3};\)
\(f\left( { - 3} \right) = - 4;f\left( 0 \right) = - 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\).
c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)
\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
d) \(D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) = - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) = - 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\).
e)
\(D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\)
f) \(D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)
\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).
Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)
b) \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)
Giải
a) Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).
\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\).
b) Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4\)
\(= - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)
Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left( t \right) = - 2t - {1 \over 2};\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\).
congdong.edu.vn