Lớp 12 - Toán học - Nâng cao Giải bài 29, 30, 31 trang 27 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 29 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xác định đỉnh $I$ của mỗi parabol $(P)$ sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ và viết phương trình của parabol $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY$.

a) $y = 2{x^2} - 3x + 1;$ b) $y = {1 \over 2}{x^2} - x - 3;$

c) $y = x - 4{x^2}$; d) $y = 2{x^2} - 5$;

Giải

a) $y' = 4x - 3;y' = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over 4};y\left( {{3 \over 4}} \right) = - {1 \over 8}$

Đỉnh $I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{ x = X + {3 \over 4} \hfill \cr y = Y - {1 \over 8} \hfill \cr} \right.$

Phương trình của $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y - {1 \over 8} = 2{\left( {X + {3 \over 4}} \right)^2} - 3\left( {X + {3 \over 4}} \right) + 1$

$\Leftrightarrow Y = 2{X^2}$

b) $y' = x - 1;y' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y\left( 1 \right) = - {7 \over 2}$

Đỉnh $I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{ x = 1 + X \hfill \cr y = - {7 \over 2} + Y \hfill \cr} \right.$

Phương trình của $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y - {7 \over 2} = {1 \over 2}{\left( {X + 1} \right)^2} - \left( {X + 1} \right) - 3$

$\Leftrightarrow Y = {1 \over 2}{X^2}$

c) $y' = 1 - 8x;y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 8};y\left( {{1 \over 8}} \right) = {1 \over {16}}$

Đỉnh $I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{ x = X + {1 \over 8} \hfill \cr y = Y + {1 \over {16}} \hfill \cr} \right.$

Phương trình của $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y + {1 \over {16}} = X + {1 \over 8} - 4{\left( {X + {1 \over 8}} \right)^2} \Leftrightarrow Y = - 4{X^2}$

d) $y' = 4x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) = - 5$

Đỉnh $I\left( {0; - 5} \right)$

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

$\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{ x = X \hfill \cr y = Y - 5 \hfill \cr} \right.$

Phương trình của $(P)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$Y - 5 = 2{X^2} - 5 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}$

Bài 30 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$.
a) Xác định điểm $I$ thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm $I$ là nghiệm của phương trình $f''\left( x \right) = 0$.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ và viết phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$. Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong $(C)$.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $I$ đối với hệ tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ đường cong $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại $I$ của $(C)$ và trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ đường cong $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Hướng dẫn. Trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, đường cong $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến $y = ax + b$ nếu $f\left( x \right) < ax + b$ với mọi $x<1$.

Giải

a) $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6$
$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) = - 1$
Vậy $I\left( {1; - 1} \right)$
b) Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo $\overrightarrow {OI}$ là

$\left\{ \matrix{ x = X + 1 \hfill \cr y = Y - 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$\eqalign{ & Y - 1 = {\left( {X + 1} \right)^3} - 3{\left( {X + 1} \right)^2} + 1 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1\cr& \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr}$

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị $(C)$ của nó nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.
c) Phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $I$ đối với hệ trục tọa độ $Oxy$ là:

$y - {y_1} = f'\left( {{x_1}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)$

$\Leftrightarrow y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = - 3x + 2$
Đặt $g\left( x \right) = - 3x + 2$
$f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)$

$= {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}$
Vì $f\left( x \right) - g\left( x \right)<0$ với $x<1$

Do đó trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại $I$ của $(C)$ và trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$, $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Bài 31 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho đường cong $(C)$ có phương trình là $y = 2 - {1 \over {x + 2}}$ và điểm $I\left( { - 2;2} \right)$ . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ và viết phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$. Từ đó suy ra $I$ là tâm đối xứng của $(C)$.

Giải

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo $\overrightarrow {OI}$ là

$\left\{ \matrix{ x = X - 2 \hfill \cr y = Y + 2 \hfill \cr} \right.$

Phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$

$Y + 2 = 2 - {1 \over {X - 2 + 2}} \Leftrightarrow Y = {{ - 1} \over X}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị $(C)$ nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.

                                                                                                   congdong.edu.vn