Bài 4 trang 78 sgk giải tích 12
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a) \(y = logx\);
b) y = \(log_{\frac{1}{2}}x\).
Giải
a) Đồ thị hàm số \(y = logx\) (cơ số 10)
Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)
* Sự biến thiên:
\(y' = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)
- Giới hạn đặc biệt:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)
Hàm số có tiệm cận đứng là: \(x=0\)
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((10;1)\), \((\frac{1}{10}; -1)\).
b) Đồ thị hàm sốy = \(log_{\frac{1}{2}}x\) ( cơ số nhỏ hơn 1)
Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)
* Sự biến thiên:
\(y' = - {1 \over {x\ln 2}} < 0,\forall x \in D\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr} \)
Hàm số có tiệm cận đứng \(x=0\).
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điêm \((\frac{1}{2};1)\), điểm phụ \((2;-1)\), \((4.-2)\), \((\frac{1}{4}; 2)\).
Bài 5 trang 78 sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y =3{x^2}-lnx + 4sinx\);
b) \(y = log({x^2} + x+1)\);
c) \(y= \frac{log_{3}x}{x}\).
Giải:
Ta sử dụng các công thức \(\left ( lnx \right )^{'}= \frac{1}{x}\) ; \(\left ( log_{a}u\right )^{'}= \frac{u^{'}}{u. lna}\) ; \((sinx)’ = cosx\) và các quy tắc tính đạo hàm của một thương để tính đạo hàm các hàm số đã cho.
a) \(y' = 6x - {1 \over x} + 4cosx\).
b) \(y'= \frac{\left ( x^{2}+x+ 1 \right )^{'}}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\) = \(\frac{2x+ 1}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\).
c) \(y'= \frac{\left ( log_{3}x^{} \right )^{'}.x- log_{3}x.1}{x^{2}}\) = \(\frac{\frac{1}{x. ln3}.x-log_{3}x}{x^{2}}\) = \(\frac{1-ln3.log_{3}x}{x^{2}.ln3}\) = \(\frac{1-lnx}{x^{2}. ln3}\).