Lớp 12 - Toán học Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 138 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 138 sgk giải tích 12

Thực hiện các phép chia sau:

a) $\frac{2+i}{3-2i}$; b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$; c) $\frac{5i}{2-3i}$; d) $\frac{5-2i}{i}$.

Giải

a) $\frac{2+i}{3-2i}$ $=\frac{(2+i)(3+2i)}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i$.

b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$ $=\frac{(1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{3})}{7}=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i$

c) $\frac{5i}{2-3i}$ $=\frac{5i(2+3i)}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i$

d) $\frac{5-2i}{i}= (5 - 2i)(-i) = -2 - 5i$.

Bài 2 trang 138 sgk giải tích 12

Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức $z$, biết:

a) $z = 1 + 2i$; b) $z = \sqrt2 - 3i$;

c) $z = i$; d) $z = 5 + i\sqrt3$.

Giải

a) $\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

c) $\frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i$

Bài 3 trang 138 sgk giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau:

a) $2i(3 + i)(2 + 4i)$; b) $\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}$

c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i)$; d) $4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}$.

Giải

a) $2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i$

b) $\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}$ $=\frac{2i(-8i)}{-2+i}=\frac{16(-2-i)}{5}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i$

c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i$

d) $4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}$ = $4 - 3i + \frac{(5+4i)(3-6i)}{45}$ = $4 - 3i + \frac{39}{45}-\frac{18}{45}i$

$= (4 + \frac{39}{45}$) $- (3 + \frac{18}{45}$)i = $\frac{219}{45}-\frac{153}{45}i$

Bài 4 trang 138 sgk giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) $(3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i$;

b) $(1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z$;

c) $\frac{z}{4-3i} + (2 - 3i) = 5 - 2i$.

Giải

a) Ta có $(3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i$

$\Leftrightarrow z = \frac{3-2i}{3-2i} \Leftrightarrow z = 1$. Vậy $z = 1$.

b) Ta có $(1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z \Leftrightarrow (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)$

$\Leftrightarrow (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i \Leftrightarrow (-1 + 2i)z = 2 + 5i$

$\Leftrightarrow z = \frac{2 + 5i}{-1+2i}=\frac{(2+5i)(-1-2i)}{5}=\frac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5}=\frac{8-9i}{5}=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$

Vậy $z =\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$

c) Ta có $\frac{z}{4-3i} + (2 - 3i) = 5 - 2i \Leftrightarrow$$\frac{z}{4-3i}= 5 - 2i - 2 + 3i$

$\Leftrightarrow z = (3 + i)(4 - 3i)\Leftrightarrow z = 12 + 3 + (-9 + 4)i \Leftrightarrow z = 15 -5i$