Bài 4 trang 44 sách sgk giải tích 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\);
b) \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;
c) \(2{x^2}-{x^4} = - 1\).
Giải:
a) Xét hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) .
Tập xác định : \(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
\(y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=5\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\); \(y_{CT}=1\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;5)\)
Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\).
Tập xác định : \(\mathbb R\).
Sự biến thiên:
\(y'= - 6{x^{2 + }}6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\) với đường thẳng \(y=2\). Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Xét hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\)
Tập xác định : \(\mathbb R\).
Sự biến thiên:
\(y' = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CĐ}=1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=0\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\) và đường thẳng \(y = -1\), từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 trang 44 sách sgk giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số
\(y = -x^3+ 3x + 1\).
b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số \(m\).
\(x^3- 3x + m = 0\).
Giải:
a) Xét hàm số \(y = -x^3+ 3x + 1\).
Tập xác định : \(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
\(y' = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1)\); \(y' = 0 ⇔ x = -1,x = 1\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\); \(y_{CĐ}=3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \(I(0;1)\) và nhận \(I\) làm tâm đối xứng.
b) \(x^3- 3x + m = 0\) \(⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1\) (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : \(y = m + 1\).
Từ đồ thị ta thấy :
+) \(m + 1 < -1 ⇔ m < -2 \): (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
+) \(m + 1 = -1 ⇔ m = -2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) \(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2\) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.
+) \( m + 1 = 3 ⇔ m = 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.
+) \(m + 1 > 3 ⇔ m > 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
Bài 6 trang 44 sách sgk giải tích 12
Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\) .
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\).
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Giải:
a) \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\).
Tập xác định: \(\mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\) ;
\(y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\)
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Tiệm cận đứng \(∆\) : \(x = - {m \over 2}\).
\(A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\).
c) \(m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là:
\(y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\).
Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
* Sự biến thiên:
\(y' = {6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \)
Tiệm cận đứng là \(x=-1\), tiệm cận ngang là: \(y=1\)
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \(Ox\) tại điểm \(({1\over 2};0)\), giao \(Oy\) tại điểm \((0;{-1\over 2})\).
Đồ thị hàm số nhận điểm \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.
