Toán học Giải bài 4, 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Bài 4 trang 121 - SGK Giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục $Ox$:

a) $y = 1 - x^2$, $y = 0$ ;

b) $y = cosx, y = 0, x = 0, x = π$ ;

c) $y = tanx, y = 0, x = 0$, $x=\frac{\pi }{4}$ ;

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm $1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1$.

Thể tích cần tìm là :

$V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx$

$=2\pi \left (\frac{x^{4}}{5}- \frac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}=2\pi\left ( \frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1 \right )=\frac{16}{15}\pi$

b) Thể tích cần tìm là :

$V= \pi \int_{0}^{\pi }cos^{2}xdx =\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+cos2x)dx$

$=\frac{\pi }{2}\left (x+\frac{1}{2}sin2x \right )|_{0}^{\pi }=\frac{\pi }{2}\pi =\frac{\pi ^{2}}{2}$

c) Thể tích cần tìm là :

$V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^{2}xdx=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\frac{1}{cos^{2}x}-1 \right )dx$

$=\pi \left (tanx-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\frac{\pi }{4})$.

Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Cho tam giác vuông $OPM$ có cạnh $OP$ nằm trên trục $Ox$. Đặt $\widehat {POM} = \alpha$

và $OM = R$, $\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)$

Gọi là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh $Ox$ (H.63).

a) Tính thể tích của theo $α$ và $R$.

b) Tìm $α$ sao cho thể tích là lớn nhất.

Giải

a) Hoành độ điểm $P$ là :

$x_p= OP = OM. cos α = R.cosα$

Phương trình đường thẳng $OM$ là $y = tanα.x$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay là:

$V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{{\tan }^2}\alpha {{{x^3}} \over 3}\left| {_0^{R\cos \alpha } = {{\pi .{R^3}} \over 3}(\cos \alpha - {{\cos }^3}} \right.} \alpha )$

b) Đặt $t = cosα \Rightarrow t ∈ \left[ {{1 \over 2};1} \right]$. $\left( \text{ vì }{\alpha \in \left[ {0;{\pi \over 3}} \right]} \right)$, $α = arccos t$.

Ta có :

$\eqalign{ & V = {{\pi {R^3}} \over 3}(t - {t^3});V' = {{\pi {R^3}} \over 3}(1 - 3{t^2}) \cr & V' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {{\sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr t = {{ - \sqrt 3 } \over 3}\text{ (loại)} \hfill \cr} \right. \cr}$

Từ đó suy ra $V$ lớn nhất bằng ${{2\sqrt 3 \pi R^3} \over 27}$ $\Leftrightarrow t = {{\sqrt 3 } \over 3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos {{\sqrt 3 } \over 3}$