Bài 1 trang 89 sgk giải tích 12
Giải các bất phương trình mũ:
a) \(2^{-x^{2}+3x}< 4\);
b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥ \frac{9}{7}\);
c) \({3^{x + 2}} +{3^{x - 1}} \le 28\);
d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\).
Giải:
a) \(2^{-x^{2}+3x} < 4 ⇔ 2^{-x^{2}+3x} < 2^2⇔ - {x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} < {\rm{ }}2\)
\(⇔{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0 ⇔ x > 2\) hoặc \(x < 1\).
b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥\) \(\frac{9}{7}\) \(⇔ \left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥ (\frac{7}{9})^{-1}\)
\(⇔ 2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} \le {\rm{ }} - 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} \le {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}x \in {\rm{ }}\left[ {1;2} \right]\).
c) \({3^{x + 2}} + {\rm{ }}{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}28 \Leftrightarrow {\rm{ }}{3^{x - 1}}(3^3+1){\rm{ }} \le {\rm{ }}28\)
\(\Leftrightarrow{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}{3^{0}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x - {\rm{ }}1 \le {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x \le {\rm{ }} - 1\).
d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)
Đặt \(t = 2^x >0\), bất phương trình đã cho trở thành
\({t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}0{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}1\) hoặc \(t > 2\).
Trở lại biến cũ ta được
\({2^{x}} < {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {2^{x}} < {\rm{ }}{2^0} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}0\)
hoặc \({2^{x}} > {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}{2^{x}} > {\rm{ }}{2^1} \Leftrightarrow {\rm{ }}x > {\rm{ }}1\).
Bài 2 trang 90 sgk giải tích 12
Giải các bất phương trình lôgarit:
a) \(lo{g_8}\left( {4 - {\rm{ }}2x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\);
b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \(log_{\frac{1}{5}}(x +1)\);
c) \(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }}-{\rm{ }}lo{g_5}\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\);
d) \(log_{3}^{2}x - 5log_3 x + 6 ≤ 0\).
Giải:
a) Điều kiện \(x ≤ 2\).
Ta có: \(2 = log_{8}8^{2}\) nên \(log_8(4- 2x) ≥ log_{8}8^{2}\)
\(⇔ 4- 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30\).
b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \(log_{\frac{1}{5}}(x +1)\) \(⇔ 0 < 3x - 5 < x + 1\) \(⇔ \frac{5}{3} < x < 3\).
c) Điều kiện: \(x > 2\). Chú ý rằng
\(log_5(x- 2) = log_{\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}}(x- 2) = -log_{0,2}(x- 2)\), nên bất phương trình đã cho tương đương với
\(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }} + lo{g_{0,2}}\left( {x - {\rm{ }}2} \right) < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\)\(⇔lo{g_{0,2}}x\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}3\)
\(⇔ x^2- 2x – 3 > 0 ⇔ (x - 3) (x+ 1) > 0\)
\(⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3\) (do \(x > 2\)).
d) Đặt \(t = log_3x\) ta được bất phương trình
\(t^2– 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\). Trở ại biến cũ ta được \(2 ≤ log_3x ≤3 ⇔\) \(log_{3}{3^{2}} ≤ log_3x ≤\) \(log_{3}{3^{3}}\) \(⇔ 9 ≤ x ≤ 27\).