Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).
Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).
Giải
.jpg)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)
Vì \(d(I, α) < R\) \( \Rightarrow \) Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có phương trình \((C)\):
\(\left\{ \matrix{
2x - 2y - z + 9 = 0 \hfill \cr
{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).
Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2, -2. -1)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) :
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = - 2 - 2t \hfill \cr
z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)
Thế các biểu thức của \(x,y,z\) theo \(t\) vào phương trình của \((\alpha)\) ta được:
\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\)
\(\Rightarrow t=-2\)
Thay \(t = -2\) vào phương trình của \(d\), ta được toạ độ tâm \(K\) của đường tròn \((C)\).
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2.( - 2) = - 1 \hfill \cr
y = - 2 - 2.( - 2) = 2 \hfill \cr
z = 1 - 2.( - 2) = 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow K(-1; 2;3)\)
Ta có: \(I{K^2} = {\rm{ }}{\left( { - 1{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}36\)
Bán kính \(r\) của đường tròn \((C)\) là:
\({r^2} = {\rm{ }}{R^2} - {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} - {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\) \( \Rightarrow r= 8\)
Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(3x + 5y - z -2 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 12 + 4t \hfill \cr
y = 9 + 3t \hfill \cr
z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
a) Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) chứa điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Giải
a) Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình đường thẳng \(d\) vào phương trình \((α)\), ta có: \(3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0\).
\(\Rightarrow 26t + 78 = 0\) \( \Rightarrow t = - 3\) \( \Rightarrow M(0; 0; - 2)\).
b) Vectơ \(\overrightarrow u (4; 3; 1)\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(0; 0; -2) ∈ (β)\) nên phương trình \((β)\) có dạng:
\(4(x - 0) + 3(y - 0) + (z + 2) = 0\)
hay \(4x + 3y + z + 2 = 0\)
Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(-1 ; 2 ; -3)\), vectơ \(\vec a= (6 ; -2 ; -3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 3t \hfill \cr
y = - 1 + 2t \hfill \cr
z = 3 - 5t. \hfill \cr} \right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa điểm \(A\) và vuông góc với giá của \(\vec a\).
b) Tìm giao điểm của \(d\) và \((α)\).
c) Viết phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với giá của \(\vec a\) và cắt đường thẳng \(d\).
Giải
a) Mặt phẳng \((α)\) vuông góc với giá của \(\vec a\) nhận \(\vec a\) làm vectơ pháp tuyến; \((α)\) đi qua \(A(-1; 2; -3)\) có phương trình:
\(6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow 6x - 2y - 3z + 1 = 0\)
b) Thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) trong phương trình tham số của \(∆\) vào phương trình \((α)\) ta có:
\(6.(1 + 3t) - 2(-1 + 2t) - 3(3 - 5t) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 0\).
Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm \(M\) của \(d\) và \((α)\): \(M(1; -1; 3)\).
c) Đường thẳng \(∆\) cần tìm chính là đường thẳng \(AM\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AM} \) làm vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AM} = (2; -3; 6)\)
Phương trình đường thẳng \(AM\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - 3t \hfill \cr
z = 3 + 6t \hfill \cr} \right.\)
Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu
(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)
và song song với hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = - 5 + 2t \hfill \cr
y = 1 - 3t \hfill \cr
z = - 13 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(d':\left\{ \matrix{
x = - 7 + 3k \hfill \cr
y = - 1 - 2k \hfill \cr
z = 8 \hfill \cr} \right.\)
Giải
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\)
\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (3; -2; 0)\)
Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d'\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n \) = (4; 6; 5)
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = 5\). Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có:
\(d(I, (α)) = R \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = 5\sqrt {77} \)
Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:
+) \(D - 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77} = 0\)
+) \(D - 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77} = 0\)