Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\)
Giải
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Thay các biểu thức này vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = -2\).
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).
Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y - z - 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\).
Giải
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM'\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\).
Phương trình \(∆\) có dạng:
\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 + 3t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\)
Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\).
Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được:
\(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\)
\(\Rightarrow t=2\)
\(\Rightarrow H(4; 7; -2)\)
\(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \)
Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của \(M'\) ta có: \(\overrightarrow {MM'} = (x - 2; y - 1; z)\); \(\overrightarrow {MH} = (2; 6; -2)\)
\(\overrightarrow {MM'} \)=\(2\overrightarrow {MH} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr
y - 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr
z = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 4 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow M' (6; 13; -4)\)
Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 4 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)
\(d':\left\{ \matrix{
x = 1 - 2k \hfill \cr
y = - 3 + k \hfill \cr
z = 4 - 5k. \hfill \cr} \right.\)
Giải
Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 - t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d'\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1)\)
Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\)
\(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\);
\(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = (0; 0; 1)\).
\(MN ⊥ Ox\)
\( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).1 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t).0\)
\(= 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2k - t = 0\) (1)
\(MN ⊥ Oz\)
\( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).0 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t) = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
\(\left\{ \matrix{
1 - 2k - t = 0 \hfill \cr
1 - 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\)
và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)
Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là:
\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)
Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 2t. \hfill \cr} \right.\)
Giải
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\).
Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\).
Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0\)
hay \(2x - y + 2z + 6 = 0\) (1)
Để tìm giao điểm \(H = (P) ⋂ △\). Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình của \(△\) vào (1), ta có: \(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\)
\( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\) \( \Rightarrow H(-1; 0; -2)\).
Từ đó ta tìm được \(A'(-3; 2; 1)\)