Bài 1 trang 68 sgk giải tích 12
Không sử dụng máy tính, hãy tính:
a) \(log_{2}\frac{1}{8}\);
b)\(log_{\frac{1}{4}}2\) ;
c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\);
d) \(log_{0,5}0,125\).
Giải
a) \(log_{2}\frac{1}{8}\) = \(log_{2}2^{-3}= -3\).
b)\(log_{\frac{1}{4}}2\) = \(log_{2^{-2}}2\) = \(-\frac{1}{2}\).
hoặc dùng công thức đổi cơ số : \(log_{\frac{1}{4}}2\) = \(\frac{log_{2}2}{log_{2}\frac{1}{4}}\) = \(\frac{1}{log_{2}2^{-2}}\) = \(-\frac{1}{2}\).
c) \(log_{3}\sqrt[4]{3}\) = \(log_{3}3^{\frac{1}{4}}\) = \(\frac{1}{4}\).
d) \(log_{0,5}0,125\) = \(log_{0,5}0,5^{3} = 3\).
Bài 2 trang 68 sgk giải tích 12
Tính:
a) \({4^{lo{g_2}3}}\);
b) \({27^{lo{g_9}2}}\);
c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}\)
d) \({4^{lo{g_8}27}}\);.
Giải:
a) \({4^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).
b)
\(\eqalign{
& {27^{lo{g_9}2}} = {\left( {{3^3}} \right)^{lo{g_9}2}} = {\left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right)^{3lo{g_9}2}} \cr
& = {\left( {{9^{lo{g_9}2}}} \right)^{{3 \over 2}}} = {2^{{3 \over 2}}} = 2\sqrt 2 \cr} \)
c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right)^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}} \right)^4} = {2^4} \)\(= 16\)
d) Có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\rm{27 = }}lo{g_{{2^3}}}{3^3} = {3 \over 3}lo{g_2}3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{3}}\)
nên \({4^{lo{g_8}27}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).
Bài 3 trang 68 sgk giải tích 12
Rút gọn biểu thức:
a)\(lo{g_3}6.{\rm{ }}lo{g_8}9.{\rm{ }}lo{g_6}2\);
b) \(lo{g_a}{b^2} + {\rm{ }}lo{g_{{a^2}}}{b^4}\).
Giải:
a) Từ công thức đổi cơ số suy ra \(∀a,b,c > 0\) \((a,b \ne 1)\), \(lo{g_a}b.{\rm{ }}lo{g_b}c{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_a}c\).
Do đó \(lo{g_3}6.{\rm{ }}lo{g_8}9.{\rm{ }}lo{g_6}2 = ({\rm{ }}lo{g_3}6.{\rm{ l}}o{g_6}2).\)\(log_{2^{3}}3^{2}\) = \(lo{g_3}2 .\frac{2}{3}lo{g_2}3\) = \(\frac{2}{3}\).
b) \(lo{g_a}{b^2}\)+ \(log_{a^{2}}b^{4}\)= \(lo{g_a}{b^2}+lo{g_a}{b^2}=2lo{g_a}{b^2}\)= \(4{\rm{ }}lo{g_a}\left| b \right|\).