Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\) ;
b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);
c) \(y = {{2 - x} \over {1 - x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);
d) \(y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Giải
a) Xét \(D = [-4; 4]\)
\(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 9;y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \in D \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8\)
Vậy \(\eqalign{
& \mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = 40 \cr
& \mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = - 41 \cr}\)
Xét \(D = [0; 5]\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \notin D \hfill \cr} \right.\)
Ta có \(y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8\)
Vậy \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 40;\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 8\)
b) \(y' = 4{x^3} - 6x = 2x\left( {2{x^2} - 3} \right);y' = 0\left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr x = - \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\)
- Với \(D = [0; 3]\) thì \(x = - \sqrt {{3 \over 2}} \notin D\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 56;y\left( {\sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4}\)
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = - {1 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = 56\)
Với \(D = [2; 5]\) thì \(x = 0;x = \pm \sqrt {{3 \over 2}}\) đều không thuộc \(D\) nên \(y(2) = 6; y(5) = 552\).
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 6;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 552\)
c) \(y = {{x - 2} \over {x - 1}};y' = {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0;\forall x \ne 1\)
Với \(D = [2; 4]: y(2) = 0\); \(y\left( 4 \right) = {2 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = 0;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = {2 \over 3}\)
Với \(D = [-3; -2]\): \(y\left( { - 3} \right) = {5 \over 4};y\left( { - 2} \right) = {4 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = {5 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} = {4 \over 3}\)
d)
\(\eqalign{
& D = \left[ { - 1;1} \right]:y' = {{ - 2} \over {\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \cr
& y\left( { - 1} \right) = 3;y\left( 1 \right) = 1 \cr} \)
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 1;\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = 3\)
Bài 2 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi \(16 cm\), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải:
Kí hiệu \(x, y\) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \((0 < x, y < 16)\). Khi đó \(x + y = 8\). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : \(8 = x + y ≥2\sqrt{xy}⇔ xy ≤ 16\)
\(\Rightarrow xy =16 ⇔ x = y = 4\). Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng \(16 cm^2\) khi \(x = y = 4(cm)\), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Bài 3 trang 24 sách sgk giải tích 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(48 m^2\) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Kí hiệu \(x, y\) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \((x, y > 0)\). Khi đó \(xy = 48\). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : \(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\sqrt{48}=8\sqrt{3}.\)
\(x+y=8\sqrt{3}.\Leftrightarrow x=y=4\sqrt{3}\). Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng \(2(x+y)=16\sqrt{3}(m)\) khi \(x=y=4\sqrt{3} (m)\), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.