Bài 4 trang 140 sgk giải tích 12
Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
Giải
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.
+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\) ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét.
+) Trường hợp \(∆ < 0\), từ công thức nghiệm
\({z_1} = \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\), \({z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với \(|∆| = 4ac - b^2\)
\({z_1} + {z_2}\) = \( \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\({z_1} {z_2} = \frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\)
Bài 5 trang 140 sgk giải tích 12
Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm
Giải
Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là
\((x - z)(x - \overline{z})= 0\) hay \(x^2 -(z + \overline{z})x + z \overline{z}= 0\).
Nếu \(z = a + bi\) thì \(z + \overline{z}= 2a\), \(z\overline{z} = a^2 +b^2\)
Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)