Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)\).
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AB, AC, AD\) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\).
b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) và song song với mặt phẳng \((ABD)\).
Giải
a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; 2; 0)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có: \(V_{ABCD}\) =\({1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\)
Ta tính được: \(AB = 1; AC = 4; AD = 2\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đtdt)
b) Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
\(IA = IB = IC\) \( \Rightarrow I\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\). Tam giác \(ACD\) vuông tại đỉnh \(A\) nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) là đường thẳng vuông góc với mp \((ACD)\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(CD\).
Như vậy \(MI // AB\) (1)
Ta lại có \(IA = IB\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có:
\(MI = AP\) = \({1 \over 2}AB\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)
Với \(C (2; 4; 3), A (2; 4; -1)\) \( \Rightarrow M (2; 3; 1)\)
\(\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1)\); \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0) \)
\(\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(I\)\(\left( {{3 \over 2};3;1} \right)\)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(r\) thì:
\(r^2 = IA^2\) =\({\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\):
\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\)
c) Ta cũng có \(AC ⊥ (ABD)\). Mặt phẳng \((α)\) song song với mặt phẳng \((ABD)\) nên nhận \(\overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\) nên phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng \(z + D = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((α)\) là:
\(d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)
Để mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:
\(d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)
Ta có hai mặt phẳng:
(1) \(1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)
\(\left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)
(2) \(1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)
\(\left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)
Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d\):
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)và mặt phẳng \((α) : 2x + y + z = 0\).
a) Tìm toạ độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) qua \(A\) và vuông góc với \( d\).
Giải
Thay các biểu thức theo \(t\) của \(x, y, z\) trong phương trình tham số của \((d)\) vào phương trình của mặt phẳng \((α)\), ta có:
\(2(1 - 2t) + (2 + t) + (3 - t) = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}\)
Từ đây, ta có toạ độ giao điểm \(A\) của \((d)\) và \((α)\)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 2.{7 \over 4} = - {{10} \over 4} \hfill \cr
y = 2 + {7 \over 4} = {{15} \over 4} \hfill \cr
z = 3 - {7 \over 4} = {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - {{10} \over 4};{{15} \over 4};{5 \over 4}} \right)\)
b) Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-2; 1; -1)\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \((d)\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của \((β)\) là:
\( - 2\left( {x + {{10} \over 4}} \right) + 1.\left( {y - {{15} \over 4}} \right) - 1.\left( {z - {5 \over 4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\)
Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).
Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n = ( - 6;10;4) =-2(3; -5; -2)\).
Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:
\(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)
Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình chính tắc là:
\({{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)
Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:
\(\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)
\((α)\) chứa \(AD\) nên chứa điểm \(A(-1; 2; 0)\)
Phương trình của \((α)\) là:
\(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x - 9y - 2z + 23 = 0\).
Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)\) và \(D(-1 ; 1 ; 2)\)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\).
c) Tìm toạ độ tiếp điểm của \((S)\) và mặt phẳng \((BCD)\).
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-3; 0; 1)\), \(\overrightarrow {BD} = (-4; -1; 2)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mp \((BCD)\) thì:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)
Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; 2; 3)\) có phương trình:
\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)
Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của mp \((BCD)\), ta có:
\(3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0\)
Vậy \(A ∉ (BCD)\) \( \Rightarrow \)bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.
b) Mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với mp \((BCD)\) có bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến mp \((BCD)\):
\(r = d (A,(BCD))\) =\({{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)
Phương trình mặt cầu cần tìm:
\((S) (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14\)
c) Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mp \((BCD)\) là:
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + t \hfill \cr
y = - 2 + 2t \hfill \cr
z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)
Thay các biểu thực này vào phương trình của \((BCD)\), ta có:
\((3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0 \)\( \Leftrightarrow t = 1\)
Từ đây ta được toạ độ điểm \(H\), tiếp điểm của mặt cầu \((S)\) và mp \((BCD)\):
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr
y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \) \( H(4; 0; 1)\)