Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng:
d1:\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr
y = 1 + 2t \hfill \cr
z = 3 - 2t \hfill \cr} \right.\) và d2 :\(\left\{ \matrix{
x = k \hfill \cr
y = 1 + k \hfill \cr
z = - 3 + 2k. \hfill \cr} \right.\)
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
Giải
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm \(M_1(-1; 1; 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = (3;2; - 2)\); đường thẳng d2 đi qua điểm \(M_2\)\((0; 1; -3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (1; 0; -6)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\)
nên ba vectơ \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.
Vậy hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.
b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa d1 và d2.
Khi đó \((P)\) qua điểm \(M_1 (-1; 1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:
\(6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0\)
hay \(6x - 8y + z + 11 = 0\)
Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12
Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).
a) Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = 0.\)
b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.
Giải
a) Ta có
\(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} +2(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {CB} \)
Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {CB} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) thì \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).
b) Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2}\)
\(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);
\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2}\)
\(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);
\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2} \)
\(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).
Từ đó \(MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2\)
\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)
\(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)
\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\)
vì \(\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Do vậy:
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.
Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau
d :\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 1 - t \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \matrix{
x = 2 + 2k \hfill \cr
y = k \hfill \cr
z = 1 + k. \hfill \cr} \right.\)
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau và lần lượt chứa \(d\) và \(d'\).
b) Lấy hai điểm \(M(2 ; -1 ; 1)\) và \(M'(2 ; 0 ; 1)\) lần lượt trên \(d\) và \(d'\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((β)\) và khoảng cách từ \(M'\) đến mặt phẳng \((α)\). So sánh hai khoảng cách đó.
Giải
a) Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)
\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (-1; 1; -1)\).
\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (2; 1; 1)\)
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \((α)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) nên:
\(\overrightarrow n = (1.1 - 1.(-1); (-1).2 - 1.(-1); (-1).1 - 2.1) \)
\(= (2; -1; -3)\)
Đường thẳng \(d\) chứa điểm \(A(2; -1; 1)\). Mặt phẳng \((α)\) chứa \(d\) nên chứa điểm \(A\). Phương trình của \((α)\):
\(2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\)
Tương tự ta có \((β)\): \( 2x - y - 3z - 1 = 0\)
b) Ta có: \(d (M,(β))\) =\({{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\)
Tương tự, ta có: \(d (M',(α))\) = \({1 \over {\sqrt {14} }}\)
\(\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))\)
Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).
a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).
c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).
d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).
Giải
a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\)
Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = (2; -2; 1)\)
Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương.
Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.
b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).
Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\).
Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + s \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)
c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:
\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Từ đây ta tính được \(H (0; 1; -1)\)
Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \):
\(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)
\(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\).
\(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr
y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)
d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; 0; -2)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)
\((P)\): \(x - 2y + 8 = 0\)
Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:
\(t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow 5t + 10 = 0\Leftrightarrow t = -2\)
\( \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)
\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \)
\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4) \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)