Bài 1 trang 80 - SGK Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đi qua điểm \(A(0 ; -1 ; 2)\) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\) và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\).
c) Đi qua ba điểm \(A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1)\).
Giải:
a) Măt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
\(2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0\) \(⇔ (P) : 2x + 3y + 5z -16 = 0\).
b) Xét \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right ] = (2 ; -6 ; 6)\), khi đó \(\overrightarrow{n} \bot (Q)\) là mặt phẳng qua \(A (0 ; -1 ; 2)\) và song song với \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) (nhận \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) làm vectơ chỉ phương).
Phương trình mặt phẳng \((Q)\) có dạng:
\(2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0\) \( ⇔ (Q) :x - 3y + 3z - 9 = 0\)
c) Gọi \(R)\) là mặt phẳng qua \(A, B, C\) khi đó \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) là cặp vectơ chỉ phương của \((R)\).
\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix}\)
\(= (2 ; 3 ; 6)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((R)\) có dạng: \(2x + 3y + 6z + 6 = 0\)
Bài 2 trang 80 - SGK Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2 ; 3 ; 7)\) và \(B(4 ; 1 ; 3)\).
Giải:
Mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn thẳng \(AB\) chính là mặt phẳng qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
Ta có \(\overrightarrow{AB}(2 ; -2; -4)\) và \(I(3 ; 2 ; 5)\) nên phương trình mặ phẳng \((P)\) là:
\(2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0\)
hay \(x -y -2z + 9 = 0\).
Bài 3 trang 80 - SGK Hình học 12
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2 ; 6 ; -3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Giải:
a) Mặt phẳng \((Oxy)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) và là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\). Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng:
\( 0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0\) hay \(z = 0\).
Tương tự phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là : \(x = 0\) và phương trình mặt phẳng \((Ozx)\) là: \(y = 0\).
b) Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(M(2; 6; -3)\) song song với mặt phẳng \(Oxy\) nhận \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(z +3 = 0\).
Tương tự mặt phẳng \((Q)\) qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(Oyz\) có phương trình \(x - 2 = 0\).
Mặt phẳng qua \(M\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) có phương trình \(y - 6 = 0\).
Bài 4 trang 80 - SGK Hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng :
a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1 ; 2)\);
b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1 ; 4 ;-3)\);
c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\);
Giải:
a) Gọi \((α)\) là mặt phẳng qua \(P\) và chứa trục \(Ox\), thì \((α)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OP} (4 ; -1 ; 2)\) và \(\overrightarrow{i}( 1 ; 0 ;0)\). Khi đó \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] =(0 ; 2 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(2y + z = 0\).
b) Tương tự phần a) mặt phẳng \((β)\) qua điểm \(Q(1 ; 4 ; -3)\) và chứa trục \(Oy\) thì ((β)\) qua điểm \(O( 0 ; 0 ; 0)\) có \(\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)\) và \(\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)\) là cặp vectơ chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng \((β)\) có dạng : \(3x + z = 0\).
c) Mặt phẳng \((ɣ)\) qua điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\) và chứa trục \(Oz\) chứa giá của các vectơ
\(\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)\) và \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) nhận \(2\) vectơ này làm vectơ chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng \((ɣ)\) có dạng: \(4x + 3y = 0\).