Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 91, 92 SGK Hình học 12

Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

Cho hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)$.

a) Chứng minh $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp $A.BCD$.

Giải

a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

$(ABC)$: ${x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$

Thế các toạ độ của $D$ vào vế phải của phương trình mặt phẳng $(ABC)$, ta có:

$-2 + 1 - 1 - 1 = 1 ≠ 0$

Vậy $D ∉ (ABC)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, suy ra đpcm.

b) Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $AB, CD$ ta có:

$cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|$

Do đó, ta tính $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$,$\overrightarrow {CD}$ được tính theo công thức:

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)$, $\overrightarrow {CD} = ( - 2,1, - 2)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3$

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2$

$\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3$

$\Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = 45^0$ $\Rightarrow α = 45^0$

c) Ta có $\overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),$ $\overrightarrow {BD} = ( - 2;0; - 1)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của $(BCD)$ thì:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (-1; -2; 2)$

Phương trình mặt phẳng $(BCD)$:

$-1(x - 0) - 2(y - 1) + 2( z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Chiều cao của hình chóp $A.BCD$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$:

$h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {3 \over 3} = 1$

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có đường kính là $AB$ biết rằng $A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7)$.

a) Tìm toạ độ tâm $I$ và tính bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$

b) Lập phương trình của mặt cầu $(S)$.

c) Lập phương trình của mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $A$.

Giải

a) Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $AB$:

$\left\{ \matrix{ {x_1} = {1 \over 2}(6 - 4) \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr {y_1} = {1 \over 2}(2 + 0) \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr {z_1} = {1 \over 2}(7 - 5) \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $I(1; 1; 1)$

Bán kính $R = {{AB} \over 2}$

$A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248$

$\Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62}$

Vậy $R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62}$

b) Phương trình mặt cầu $(S)$

${\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62$

$\Leftrightarrow$ ${x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $A$ chính là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với bán kính $IA$. Ta có:

$\overrightarrow {IA} = (5; 1 ; -6)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

$5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0$

Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $AB$ và song song với $CD$.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)$, $\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)$

Xét vectơ $\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]$ $\Rightarrow \overrightarrow a = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)$

Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow {a'} = (8; -3; -2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0$ $\Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0$

Thay toạ độ của $A$ vào phương trình của $(BC)$ ta có:

$8.(-2) - 3.6 - 2.6 + 4 = -42 ≠ 0$

Điều này chứng tỏ điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, và $ABCD$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$:

$AH = d(A,(BCD))$ = ${{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}$

c) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (3; - 6; 3)$, $\overrightarrow {CD} = ( 1; 2; 1)$

Mặt phẳng $(α)$ chứa $AB$ và $CD$ chính là mặt phẳng đi qua $A(-2; 6; 3)$ và nhận cặp vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {CD}$ làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]$

$\Rightarrow \overrightarrow n$ = $(-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)$

Vậy phương trình của $(α)$ là:

$1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0$$\Leftrightarrow x - z + 5 = 0$

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm $A(1 ; 0 ; -3), B(3 ; -1 ; 0)$.

b) Đi qua điểm $M(2 ; 3 ; -5)$ và song song với đường thẳng $∆$ có phương trình.

$\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 3 - 4t \hfill \cr z = - 5t. \hfill \cr} \right.$

Giải

a) Đường thẳng $d$ qua $A, B$ có vectơ chỉ phương $(2, -1, 3)$ nên phương trình tham số của $d$ có dạng:

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = - 3 + 3t \hfill \cr} \right.$

với $t ∈ \mathbb{R}$.

b) Đường thẳng $d // ∆$. Mà $\overrightarrow u (2, -4, -5)$ là vectơ chỉ phương của $∆$ nên cũng là vectơ chỉ phương của $d$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:

$\left\{ \matrix{ x = 2 + 2s \hfill \cr y = 3 - 4s \hfill \cr z = - 5 - 5s \hfill \cr} \right.$

với $s ∈ \mathbb{R}$.