Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\) ; b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\);
c) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\) ; d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\) ;
Giải:
Câu a:
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3- 3x^2\) .
Ta có: \(y' = 0 ⇔ x = ± 1\) .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại
\(y\)CĐ=\(y(1)=4\), đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và
\(y\)CT=\(y(-1)=0\).
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Bảng biến thiên:
.jpg)
Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại các điểm \((2;0)\) và \((-1;0)\), cắt \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).
Đồ thị:
Ta có: \(y''=6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).
.jpg)
Câu b:
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Bảng biến thiên:
.jpg)
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\)
.jpg)
Câu c:
Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\).
Bảng biến thiên :
.jpg)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\) \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\)
Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \((-1;-9)\) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\)
.jpg)
Câu d:
Xét hàm số \(y=-2x^3+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Bảng biến thiên:
.jpg)
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)
.jpg)
Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\); b) \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\);
c) \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\); d) \(y = - 2{x^2} - {x^4} + 3\).
Giải:
a) Tập xác định: \(\mathbb R\) ;
Sự biến thiên:
\(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\);
\( y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2\) .
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \)
Bảng biến thiên :
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị
b) Tập xác định: \(\mathbb R\);
Sự biến thiên:
\(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\);
\(y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1\) .
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\).
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)
Đồ thị
c) Tập xác định: \(\mathbb R\);
Sự biến thiên:
\(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\);
\(y' = 0 ⇔ x = 0\).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).
-Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)
-Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \)
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\).
Đồ thị như hình bên.
d) Tập xác định: \(\mathbb R\);
Sự biến thiên:
\(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\);
\(y' = 0 ⇔ x = 0\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\).
- Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = -\infty \)
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\).
Đồ thị như hình bên.
Bài 3 trang 43 sách sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \({{x + 3} \over {x - 1}}\) ,
b) \({{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\) ,
c) \({{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\)
Giải:
a) Tập xác định : \(\mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);
* Sự biến thiên:
\(y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 1\); tiệm cận ngang là: \(y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\((0;-3)\), trục hoành tại \((-3;0)\)
b) Tập xác định : \(\mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);
* Sự biến thiên:
\(y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = 2\); tiệm cận ngang là:\( y = -1\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \(\left( {0; - {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\)
c) Tập xác định : \(R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\);
Sự biến thiên:
\(y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \((-\infty;{-1\over 2})\) và \(({-1\over 2};+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(x = - {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(y = - {1 \over 2}\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \(Ox\) tại: \((2;0)\), \(Oy\) tại: \((0;2)\)
