Bài 1 trang 126 Giải tích 12
a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
Giải
a) Kí hiệu KK là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực K
Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu ∀x∈K ta có F′(x)=f(x)
b) Phương pháp tính nguyên hàm toàn phần sựa trên cơ sở định lí:
Nếu hai hàm số u=u(x)và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
∫u(x).v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx (3)
Để tính nguyên hàm toàn phần ta cần phân tích f(x) thành g(x).h(x)
- Chọn một nhân tử đặt bằng uu còn nhân tử kia đặt là v′v′
- Tìm u′u′ và vv,
- Áp dụng công thức trên, ta đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới đơn giản hơn.
Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:
| ∫P(x)exdx∫ | ∫P(x)sinxdx | ∫P(x)cosxdx | ∫P(x)lnxdx |
uu | P(x) | P(x) | P(x) | ln(x) |
dvdv | exdx | sinxdx | cosxdx | P(x)dx |
Ví dụ:
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=(3x3−2x)lnx
Giải
Đặt u=lnx
⇒u′=1xv′=3x^3−2x⇒v=34x^4−x^2
Suy ra:
∫f(x)dx=(34x4−x2)lnx−∫(34x3−x)dx=(34x4−x2)lnx−314x4+12x2+C
Bài 2 trang 126 SGK Giải tích 12
a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x)f(x) trên một đoạn
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Giải
a) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b].
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]
Hiệu số F(a)–F(b) được gọi là tích phân từ a đến b(hay tích phân xác định trên đoạn [a,b][a,b] của hàm số f(x)
Kí hiệu ∫baf(x)dx hoặc
Dấu [F(x)]∣∣ba=F(b)–F(a)(1)(a)(1). (Công thức Newton – Leibniz)
Dấu được gọi là dấu tích phân, aa là cận dưới và bb là cận trên của tích phân
Hàm số f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân,f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, dxchỉ biến số lấy tích phân là x.
b)
Tính chất 1: ∫bak.f(x)dx=k∫baf(x)dx ( kk là hằng số)
Tính chất 2: ∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
Tính chất 3: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx (a<c<ba<c<b)
Ví dụ:
a) Biết ∫9-5f(x)dx=2.∫5-9f(x)dx=2. Hãy tính ∫9-5(−5).f(x)dx∫5-9(−5).f(x)dx
b) Biết ∫9-5f(x)dx=2.∫5-9f(x)dx=2. và ∫9-5g(x)dx=4∫5-9g(x)dx=4 . Hãy tính ∫05[f(x)+g(x)]dx∫50[f(x)+g(x)]dx
c) Biết ∫9-5f(x)dx=2.∫5-9f(x)dx=2. và ∫10-9f(x)dx=3∫9-10f(x)dx=3 . Hãy tính ∫10-5f(x)dx∫5-10f(x)dx
Giải
a) Ta có: ∫95(−5).f(x)dx=(−5)∫95f(x)dx=(−5).2=−10
b) Ta có: ∫95[f(x)+g(x)]dx=∫95f(x)dx+∫95g(x)dx=2+4=6
c) Ta có: ∫105f(x)dx=∫95f(x)dx+∫109f(x)dx=2+3=5
Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x)=(x−1)(1−2x)(1−3x)
b) f(x)=sin4xcos22x
c) f(x)=11−x^2
d) f(x)=(ex−1)3
Giải
a) Ta có:
f(x)=(−2x^2+3x−1)(1−3x)f(x)
=6x^3−11x^2+6x−1
Vậy nguyên hàm của f(x) là F(x)=3/2x^4−11/3x^3+3x^2−x+C
b) Ta có:
f(x)=sin4x.cos22x=sin4x.1+cos4x^2
=12(sin4x+sin4x.cos4x)
=12(sin4x+12sin8x)
Vậy nguyên hàm của f(x) là F(x)=−18cos4x−132cos8x+C
c) Ta có:
f(x)=1/(1−x^2)=1/2*[(1/(1−x)+1/(1+x)]
Vậy nguyên hàm của f(x) là F(x)=12ln|1+x1−x|+C
d) Ta có:
f(x)=e^(3x)−3e^(2x)+3e^x−1
Vậy nguyên hàm của f(x) là F(x)=1/3e^(3x)−3/2e^(2x)+3e^x−x+C