Giải bài 5, 6, 7, 8 trang 26 SGK Hình học 12

Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$. Hãy tính đường cao $OH$ của hình chóp.

Giải

Kẻ $AD\bot BC, OH \bot AD$ thì dễ thấy $OH$ chính là đường cao của hình chóp.

Vì $OD.BC = OB.OC$ nên $OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$ . Từ đó suy ra

$AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ = $\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ .

Vì $OH.AD = OA.OD$ nên

$OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$

Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có cạnh $AB$ bằng $a$. Các cạnh bên $SA, SB, SC$ tạo với đáy một góc $60^0$. Gọi $D$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng qua $BC$ và vuông góc với $SA$.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp $S.DBC$ và $S.ABC$.

b) Tính thể tích của khối chóp $S.DBC$.

Giải

a) Vì hình chóp $S.ABC$ là hình chóp đều nên chân đường cao $H$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc $SAH = 60^0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ thì $AM$ là đường cao của tam giác đều $ABC$:

$AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

$AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}$

Từ đây, ta có:$SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}$ = ${{2a\sqrt 3 } \over 3}$

$AD = AM.cos 60^0$ = ${{a\sqrt 3 } \over 4}$

$\Rightarrow SD = SA - AD = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}$

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

${{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}$

b) Ta có: $S_{ABC}$ = ${{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$; $SH = AH.tan60^0 = a$

$\Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}$ $\Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

Từ kết quả câu a) ta có:

${V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}$ $\Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

$\Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}$

Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a$. Các mặt bên $SAB, SBC, SCA$ tạo với đáy một góc $60^0$. Tính thể tích của khối chóp đó.

Giải

Kẻ $SH \bot (ABC)$ và từ $H$ kẻ $HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA$.

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

$SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC$ do đó:

$\widehat {SIH} = \widehat {SJH} = \widehat {SKH} = {60^0}$

Từ đây ta có: $△SIH = △SJH = △SKH$

$\Rightarrow IH = JH = KH$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $△ABC$.

Tam giác $ABC$ có chu vi:

$2p = AB + BC + CA = 18a$

$\Rightarrow p = 9a$

Ta có: $p - AB = 4a$

$p - BC = 3a$

$p - CA = 2a$

Theo công thức Hê-rông, ta có: $S = \sqrt {9a.4a.3a.2a} = 6{a^2}\sqrt 6$

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$:

$IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}$

Đường cao $SH$ của khối chóp:

$SH = r . tan60^0$ = ${{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3 = 2a\sqrt 2$

Thể tích khối chóp:

${V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6 = 8{a^3}\sqrt 3$

Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy và $AB = a, AD = b, SA =c$. Lấy các điểm $B', D'$ theo thứ tự thuộc $SB, SD$ sao cho $AB'$ vuông góc với $SB, AD'$ vuông góc với $SD$. Mặt phẳng $(AB'D')$ cắt $SC$ tại $C'$. Tính thể tích khối chóp $S.AB'C'D'$.

Giải

Ta có $BC \bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AB'$

Theo giả thiết $SB \bot AB'$

$AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$AD' \bot SC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $SC \bot (AB'C'D')$ hay $SC$ là đường cao của hình chóp $S.AB'C'D'$.

Từ $AB' \bot (SBC)$ $\Rightarrow AB' \bot B'C'$

Tương tự ta có: $AD' \bot D'C'$

Từ các kết quả trên, ta được:

${V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')$

= ${1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')$ (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông $SAB$ có $AB'$ là đường cao, nên ta có:

${1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}$

$\Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

Tương tự, ta có:

$AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$

Ta lại có: $SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$\Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Trong tam giác vuông $SAC, AC'$ là đường cao thuộc cạnh huyền

$SC'.SC = SA^2$ $\Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$∆SBC$ đồng dạng $∆SC'B'$ $\Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}$

$\Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Tương tự ta có: $D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

$V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}$