Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a,OB=b,OC=c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Giải

Kẻ AD⊥BC,OH⊥AD thì dễ thấy OH chính là đường cao của hình chóp.
Vì OD.BC=OB.OC nên OD=bc√b2+c2 . Từ đó suy ra
AD=√a2+b2c2b2+c2 = √a2b2+b2c2+c2a2b2+c2 .
Vì OH.AD=OA.OD nên
OH=abc√b2+c2:√a2b2+b2c2+c2a2b2+c2=abc√a2b2+b2c2+c2a2
Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.
Giải
a) Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc SAH=600. Gọi M là trung điểm của cạnh BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC:
AM=a√32
AH=23.AM=a√33
Từ đây, ta có:SA=AHcos600 = 2a√33
AD=AM.cos600 = a√34
⇒SD=SA−AD=5a√312
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
VS.DBCVS.ABC=SDSA.SBSB.SCSC=5a√312:2a√33=58

b) Ta có: SABC = a2√34; SH=AH.tan600=a
⇒VS.ABC=13.SH.SABC ⇒VS.ABC=a3√312
Từ kết quả câu a) ta có:
VS.DBC=58.VS.ABC ⇒VS.BDC=58.a3√312
⇒VS.DBC=5a3√396
Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
Giải

Kẻ SH⊥(ABC) và từ H kẻ HI⊥AB,HJ⊥BC,HK⊥CA.
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
SI⊥AB,SJ⊥BC,SK⊥AC do đó:
^SIH=^SJH=^SKH=600
Từ đây ta có: △SIH=△SJH=△SKH
⇒IH=JH=KH
⇒H là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.
Tam giác ABC có chu vi:
2p=AB+BC+CA=18a
⇒p=9a
Ta có: p−AB=4a
p−BC=3a
p−CA=2a
Theo công thức Hê-rông, ta có: S=√9a.4a.3a.2a=6a2√6
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
IH=r=SABCp=6a2√69a⇒IH=2a√63
Đường cao SH của khối chóp:
SH=r.tan600 = 2a√63.√3=2a√2
Thể tích khối chóp:
VS.ABC=13.2a√2.6a2√6=8a3√3
Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,AD=b,SA=c. Lấy các điểm B′,D′ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB′ vuông góc với SB,AD′ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp S.AB′C′D′.
Giải

Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥AB′
Theo giả thiết SB⊥AB′
AB′⊥(SBC)⇒AB′⊥SC (1)
Chứng minh tương tự ta có:
AD′⊥SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra SC⊥(AB′C′D′) hay SC là đường cao của hình chóp S.AB′C′D′.
Từ AB′⊥(SBC) ⇒AB′⊥B′C′
Tương tự ta có: AD′⊥D′C′
Từ các kết quả trên, ta được:
VAB′C′D′=13.SC′.12(AB′.B′C′+AD′.D′C′)
= 16SC′.(AB′.B′C′+AD′.D′C′) (*)
Ta tính các yếu tố trên.
Tam giác vuông SAB có AB′ là đường cao, nên ta có:
1AB′2=1a2+1c2⇒AB′2=a2c2a2+c2
⇒AB′=ac√a2+c2
Tương tự, ta có:
AD′2=b2c2b2+c2⇒AD′=bc√b2+c2
Ta lại có: SC2=AC2+AS2=a2+b2+c2
⇒SC=√a2+b2+c2
Trong tam giác vuông SAC,AC′ là đường cao thuộc cạnh huyền
SC′.SC=SA2 ⇒SC′=SA2SC=c2√a2+b2+c2
∆SBC đồng dạng ∆SC′B′ ⇒B′C′BC=SC′SB
⇒B′C′=SC′.BCSB=bc2√a2+c2√a2+b2+c2
Tương tự ta có: D′C′=c2a√b2+c2√a2+b2+c2
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
V=16.abc5(a2+b2+2c2)(a2+c2)(b2+c2)(a2+b2+c2)