Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 3.41, 3.42. 3.43 trang 163 Sách bài tập Hình học 11

Bài 3.41 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

c) Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thằng b thì \(a\parallel \left( \alpha \right)\).

d) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Giải:

Bài 3.42 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Xét các mệnh đề sau đây xem mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau.

Giải:

Bài 3.43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia \(Ax,By,Cz,Dt\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A’,B’,C’,D’.

a) Tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình gì? Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Giải:

a) Ta có hai mặt phẳng song song là:

\(\left( {Ax,AD} \right)\parallel \left( {By,BC} \right)\)

Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) nên ta suy ra các giao tuyến của chúng phải song song nghĩa là \(A'D'\parallel B'C'\).

Tương tự ta chứng minh được \(A'B'\parallel D'C'\). Vậy A’,B’,C’,D’ là hình bình hành. Các hình thang AA’C’C và BB’D’D đều có OO’ là đường trung bình trong đó O là tâm của hình vuông ABCD và O’ là tâm của hình bình hành A’,B’,C’,D’. Do đó: \(AA' + CC' = BB' + DD' = 2OO'\)

b) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình thoi ta cần phải có A’C’⊥B’D’. Ta đã có AC⊥BD. Người ta chứng minh được rằng hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hay nằm trong mặt chiếu. Vậy A’,B’,C’,D’ là hình thoi khi và chỉ khi A’C’ hoặc B’D’ song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước. Khi đó ta có AA’ = CC’ hoặc BB’ = DD’.

c) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật ta cần có A’B’⊥B’C’, nghĩa là A’B’ hoặc B’C’ phải song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó ta có AA’ = BB’ hoặc BB’ = CC’, nghĩa là hình bình hành A’,B’,C’,D’ có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước.

                                                                          congdong.edu.vn