Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 2.9, 2.10. 2.11 trang 164, 165 Sách bài tập Đại số và giải tích 11
Bài 2.9 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho hàm số
f(x)={1x−1−3x3−1,nếux>1mx+2,nếu,x≤1
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x→1 ? Tìm giới hạn này.
Giải:
limx→1+f(x)=limx→1+(1x−1−3x3−1)=limx→1+x2+x−2(x−1)(x2+x+1)=limx→1+(x−1)(x+2)(x−1)(x2+x+1)=limx→1+x+2x2+x+1=1
limx→1−f(x)=limx→1−(mx+2)=m+2
f(x) có giới hạn khi x→1⇔m+2=1⇔m=−1. Khi đó limx→1f(x)=1
Bài 2.10 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho khoảng K,x0∈K và hàm số y=f(x) xác định trên K∖{x0}
Chứng minh rằng nếu limx→x0f(x)=+∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc K∖{x0} sao cho f(c)>0
Giải:
Vì limx→x0f(x)=+∞ nên với dãy số (xn) bất kì, xn∈K∖{x0} và xn→x0 ta luôn có limn→+∞f(xn)=+∞
Từ định nghĩa suy ra f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì f(xn)>1 kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tạiít nhất một số xk∈K∖{xo} sao cho f(xk)>1.
Đặt c=xk ta có f(c)>0
Bài 2.11 trang 165 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xácđịnh trên khoảng (a;+∞)
Chứng minh rằng nếu limx→+∞f(x)=−∞ thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc (a;+∞) sao cho f(c)<0
Giải:
Vì limx→+∞f(x)=−∞ nên với dãy số (xn) bất kì, xn>a và xn→+∞ ta luôn có limn→+∞f(x)=−∞
Do đó limn→+∞[−f(xn)]=+∞
Theo định nghĩa suy ra −f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì −f(xn)>2 kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk∈(a;+∞) sao cho −f(xk)>2 hay f(xk)<−2<0
Đặt c=xk ta có f(c)<0
congdong.edu.vn