Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 13, 14, 15 trang 172 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 13 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) \({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm ;

b) \(m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m ;

c) \({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của $m \in \left( { - 2;2} \right)\)

Giải :

Hướng dẫn :

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\)

b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) trên các đoạn \(\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)

c) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) trên các đoạn \(\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)

Bài 14 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}}\). Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không

a) trong khoảng (1; 3) ?

b) trong khoảng (-3; 1) ?

Giải:

a) Với \(x \ne 2\) ta có \({{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 8x + 1 = 0\)

Vì \({x^3} + 8x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên phương trình \({x^3} + 8x + 1 = 0\) không có nghiệm trong khoảng này.

b) \(f\left( x \right)\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\). Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]

Mặt khác, \(f\left( { - 3} \right)f\left( 1 \right) = - 100 < 0\)

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng (- 3; 1)

Bài 15 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)

Giải :

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)

Ta có

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr
& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \)

(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).

Do đó,

\(\eqalign{
& g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right] \cr
& = - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)

- Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)

Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng

Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left( {0;{1 \over 2}} \right)\)

                                                                                            congdong.edu.vn