Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 2.4, 2.5, 2.6 trang 23 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \({{\sin 3x} \over {\cos 3x - 1}} = 0\)

b) \(\cos 2x\cot \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0\)

c) \(\tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0\)

d) \(\left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0\)

Giải:

a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:

sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \left( {2m + 1} \right){\pi \over 3},m \in Z\)

b) Điều kiện: \(\sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) \ne 0\). Biến đổi phương trình:

\(\cos 2x.\cot \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \Rightarrow \cos 2x.\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z. \hfill \cr} \right.\)

Do điều kiện, các giá trị \(x = {\pi \over 4} + 2m{\pi \over 2},m \in Z\) bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = {\pi \over 4} + \left( {2m + 1} \right){\pi \over 2},m \in Z\) và \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ,k \in Z\)

c) Điều kiện:

\(\cos \left( {2x + {{60}^o}} \right) \ne 0\)

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \sin \left( {2x + {{60}^o}} \right)\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\sin \left( {2x + {{60}^o}} \right) = 0 \hfill \cr
\cos \left( {x + {{75}^o}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} \hfill \cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z \hfill \cr
x = {15^o} + k{180^o},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr}\)

Do điều kiện ở trên, các giá trị \(x = {15^o} + k{180^o},k \in Z\) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = - {30^o} + k{90^o},k \in Z\)

d) Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {\cot x + 1} \right)\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cot x = - 1 \hfill \cr
\sin 3x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k{\pi \over 3},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị \(x = k{\pi \over 3}\) và \(k = 3m,m \in Z\) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = - {\pi \over 4} + k\pi {\rm{ ; }}x = {\pi \over 3} + k\pi\) và \(x = {{2\pi } \over 3} + k\pi ,k \in Z\)

Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau

a) \(y = \cos \left( {2x - {\pi \over 3}} \right)$ và $y = \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right)\)

b) \(y = \sin \left( {3x - {\pi \over 4}} \right)$ và $y = \sin \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\)

c) \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 5}} \right)$ và $y = \tan \left( {{\pi \over 5} - x} \right)\)

d) \(y = \cot 3x\) và \(y = \cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\)

Giải:

a)

\(\eqalign{
& \cos \left( {2x - {\pi \over 3}} \right) = \cos \left( {{\pi \over 4} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {\pi \over 3} = {\pi \over 4} - x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
2x - {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{7\pi } \over {36}} + k{{2\pi } \over 3},k \in Z\) và \(x = {\pi \over {12}} + k2\pi ,k \in Z\)

b)

\(\eqalign{
& \sin \left( {3x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( {x + {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x - {\pi \over 4} = x + {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
3x - {\pi \over 4} = \pi - x - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {{5\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x = {{13\pi } \over {12}} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy các giá trị cần tìm là: \(x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = {{13\pi } \over {48}} + k{\pi \over 2},k \in Z\)

c)

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \tan \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos \left( {2x + {\pi \over 5}} \right) \ne 0;\,\,\cos \left( {{\pi \over 5} - x} \right) \ne 0\left( 1 \right) \hfill \cr
2x + {\pi \over 5} = {\pi \over 5} - x + k\pi ,k \in Z\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow x = {{k\pi } \over 3},k \in Z \cr} \)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: \(x = {{k\pi } \over 3},k \in Z\)

d)

\(\eqalign{
& \cot 3x = \cot \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sin 3x \ne 0;\,\,\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr
3x = x + {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z\,\,\,\,\left( 4 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 2},k \in Z \cr} \)

Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).

Suy ra các giá trị cần tìm là \(x = {\pi \over 6} + m\pi ,m \in Z\)

Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

a) cos 3x - sin 2x = 0

b) tanx. tan 2x = - 1

c) sin 3x + sin 5x = 0

d) cot 2x. cot 3x = 1

Giải:

a)

\(\eqalign{
& \cos 3x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {\pi \over {10}} + {{k2\pi } \over 5},k \in Z\) và \(x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z\)

b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0

\(\eqalign{
& \tan x.\tan 2x = - 1 \cr
& \Rightarrow \sin x.\sin 2x = - \cos x.\cos 2x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos x + \sin 2x.\sin x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos x = 0 \cr} \)

Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.

c)

\(\eqalign{
& \sin 3x + \sin 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x.\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {{k\pi } \over 4},k \in Z{\rm{ }}\) và \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\)

d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0

\(\eqalign{
& \cot 2x.\cot 3x = 1 \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x = \sin 2x.\sin 3x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x - \sin 2x.\sin 3x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z \cr} \)

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

\(\eqalign{
& x = {\pi \over {10}} + \left( {2 + 5m} \right).{\pi \over 5} \cr
& = {\pi \over {10}} + {{2\pi } \over 5} + m\pi \cr
& = {\pi \over 2} + m\pi ,m \in Z \cr} \)

Lúc đó \(\sin 2x = \sin \left( {\pi + 2m\pi } \right) = 0\), không thỏa mãn điều kiện.

Có thể suy ra nghiệm phương trình là \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z\) và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z

                                                                          congdong.edu.vn