Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 trang 67 Sách bài tập Đại số và giải tích 11
Bài 2.13 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?
Giải:
Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\)
Bài 2.14 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a) Ghế sắp thành hàng ngang ?
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ?
Giải:
a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.
Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.
Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\) cách.
Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.
Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.
Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\) cách.
Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách.
Bài 2.15 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\)
\(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\)
Giải:
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr
& C_n^{k + 1} = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} \cr
& ... \cr
& C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \)
Từ đó
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \)
Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng
\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)
Giải:
Ta có:
\(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \)
Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được
\(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\)
\(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
congdong.edu.vn