Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 3.4, 3.5, 3.6 trang 69 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 3.4 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x². Hãy tìm a và n.

Giải:

Ta có: \({\left( {1 + ax} \right)^n} = 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)

Theo bài ra:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
C_n^1a = 24 \hfill \cr
C_n^2{a^2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
{{n\left( {n - 1} \right){a^2}} \over 2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
\left( {n - 1} \right)a = 21 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
n = 8 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Bài 3.5 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}\), hệ số của x⁷ là -9 và không có số hạng chứa x⁸. Tìm a và b.

Giải:

Số hạng chứa x⁷ là \(\left( {C_3^0.C_6^2{{\left( { - b} \right)}^2} + C_3^1a.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^2{a^2}C_6^0} \right){x^7}\)

Số hạng chứa x⁸ là \(\left( {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right){x^8}\)

Theo bài ra ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9 \hfill \cr
- 6b + 3a = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
{b^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.. \cr}\)

Bài 3.6 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển \({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Giải:

Ta có:

\({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - {2 \over x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - {2 \over x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\eqalign{
& C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
n = 8 \hfill \cr
n = - 6{\rm{ }}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\)

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^8} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - {2 \over x}} \right)}^k}} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \cr} \)

Như vậy, ta phải có \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\).

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁴ là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).

                                                                                                  congdong.edu.vn