Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 trang 154 Sách bài tập Đại số và giải tích 11
Bài 1.9 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
a) \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;
b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {2n - 1}}\) ;
c) \({u_n} = {{2 - n{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\) ;
d) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n\) ;
e) \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi \)
Giải:
a) Vì \(\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)
b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;
e) Ta có \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi = {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)\) (1)
Vì \(\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\) và \(\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\) nên \(\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\)
Do đó, \(\lim \left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0\) (2)
Mặt khác, \(\lim {5^n} = + \infty \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\lim \left( {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = + \infty \)
Bài 1.10 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.
Giải :
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có, \({u_1} = 2,\,\,{u_2} = {3 \over 2},\,\,{u_3} = {5 \over 4},\,\,{u_4} = {9 \over 8},\,\,{u_5} = {{17} \over {16}}\)
Dự đoán, \({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) với \(n \in N*\)
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).
Từ đó,
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)
Bài 1.11 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1, - {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{\left( { - {1 \over 2}} \right)^{n - 1}},...\)
Giải :
ĐS:
\({2 \over 3}\)
Bài 1.12 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tính tổng \(S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} + ... + {\left( {0,9} \right)^{n - 1}} + ...\)
Giải:
ĐS: 10
congdong.edu.vn