Lớp 11 - SBT Toán học Giải bài 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 trang 153, 154 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to + \infty \)

a) \({a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\) ;

b) \({b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\) ;

c) \({c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\) ;

d) \({d_n} = {{{{\left( {2 - 3n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {1 - 4{n^5}}}\) ;

e) \({u_n} = {2^n} + {1 \over n}\) ;

f) \({v_n} = {\left( { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\) ;

g) \({u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\) ;

h) \({v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\) ;

Giải :

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) \({{27} \over 4}\) ;

e) \(\lim \left( {{2^n} + {1 \over n}} \right) = \lim {2^n}\left( {1 + {1 \over n}.{1 \over {{2^n}}}} \right) = + \infty \) ;

f) 0 ; g) \( - {1 \over 2}\) ; h) - 1 ;

Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\) ;

b) \(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\) ;

c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\) ;

d) \(\lim n\left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\)

Giải:

a) +∞ ;

b) -∞ ;

c) +∞ ;

d) \( - {3 \over 2}\) ;

Bài 1.7 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)

Giải :

\(\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Vì \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \({v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n, nên \(\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

Bài 1.8 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Biết \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ?

Giải:

\(\lim {u_n} = 2\)

                                                                                               congdong.edu.vn