Lớp 12 - SBT Toán học Giải bài 1.56, 1.57, 1.58 trang 38 Sách bài tập Giải tích 12
Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .
c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
Hướng dẫn làm bài:
a)
b) Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) là:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
Trong đó \(y'({x_0}) = {{ - 9} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}\) . Ta có:
\(y = - {9 \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {y_0}\) với \({y_0} = {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}}\)
Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:
\({{9{x_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} \ne 2 \hfill \cr
{x_0}^2 + 2{x_0} - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow {x_0} = - 1 \pm \sqrt 3 \)
+) Với \({x_0} = - 1 + \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\)
+) Với \({x_0} = - 1 - \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\) .
Cách 2.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\) và y = kx , ta giải hệ:
\(\left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} = kx \hfill \cr
- {9 \over {{{(x - 2)}^2}}} = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} + {{9x} \over {{{(x - 2)}^2}}} = 0 \hfill \cr
- {{3(x + 1)} \over {x - 2}} = k \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x = - 1 \pm \sqrt 3 \)
Thay vào phương trình thứ hai ta có:
\({k_1} = - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} = - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )\)
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y = - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y = - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\)
c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:
\(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}} \Leftrightarrow y = 3 + {9 \over {x - 2}}\)
Điều kiện cần và đủ để \(M(x,y) \in (C)\) có tọa độ nguyên là:
\(\left\{ \matrix{
x \in Z \hfill \cr
{9 \over {x - 2}} \in Z \hfill \cr} \right.\)
tức (x – 2) là ước của 9.
Khi đó, x – 2 nhận các giá trị \( \pm 1; \pm 3; \pm 9\) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.
Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).
Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
\(y = {{x + 2} \over {x - 3}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).
c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Hướng dẫn làm bài:
a)
b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:
\(\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta được \(Y + 1 = {{X + 5} \over X} \Leftrightarrow Y = {{X + 5} \over X} - 1 \Leftrightarrow Y = {5 \over X}\)
Vì \(Y = {5 \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.
c) Giả sử \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:
\({d_1} = |{x_0} - 3|,{d_2} = |{y_0} - 1| = {5 \over {|{x_0} - 3|}}\)
Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ \({x_0} = 3 \pm \sqrt 5 \)
Bài 1.58 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh rằng phương trình: 3x5 + 15x – 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số 3x5 + 15x – 8 = 0 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.
Vì \(f(0) = - 8 < 0,f(1) = 10 > 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho f(x0) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
Mặt khác, ta có \(y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.
congdong.edu.vn