Lớp 12 - SBT Toán học Giải bài 1.14, 1.15, 1.16 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12
Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \sin 2x\)
b) \(y = \cos x - \sin x\)
c) \(y = {\sin ^2}x\)
Hướng dẫn làm bài:
a) \(y = \sin 2x\)
Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)
Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:
\(y' = 2\cos 2x\)
\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , hàm số đạt cực đại tại \({\pi \over 4}\) , đạt cực tiểu tại \({{3\pi } \over 4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\)
Vậy trên R ta có:
\({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;\)
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\)
b)
Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).
\(\eqalign{
& y' = - \sin x - \cos x \cr
& y' = 0 < => \tan x = - 1 < = > x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {\pi \over 4} + k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)\) và
\({y_{CĐ}} = y( - {\pi \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2\) ;
\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) = - \sqrt 2 (k \in Z)\)
c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) .
\(\eqalign{
& y' = \sin 2x \cr
& y' = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}(k \in Z) \cr} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k lẻ, và
\({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;\)
\({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\)
Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)
b) \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\)
c) \(y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}\)
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ: D = R
\(y' = 3{x^2} - 6x + m\)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
⇔ 3x2 – 6x + m có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.
Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.
b) TXĐ: D = R
y’ = 3x2 + 4mx + m
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.
⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ó m(4m – 3) > 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \(m > {3 \over 4}\) .
c) TXĐ: D = R\{m}
\(y' = {{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5} \over {{{(x - m)}^2}}}\)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D
⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 có hai nghiệm phân biệt.
⇔ ∆’ = - m2 + 5 > 0 ⇔ \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \)
Bài 1.16 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D = R
y’ = 3x2 – 4x + m ; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ \(m < {4 \over 3}\) (*)
Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :
y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*) )
Mặt khác, vì:
y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0
cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1
congdong.edu.vn