Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Xác định m để hàm số sau:
a) \(y = {{mx - 4} \over {x - m}}\)đồng biến trên từng khoảng xác định;
b) \(y = {{ - mx - 5m + 4} \over {x + m}}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định;
c) \(y = - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên ;
d) \(y = {x^3} - 2m{x^2} + 12x - 7\) đồng biến trên R.
Hướng dẫn làm bài:
a) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(( - \infty ;m),(m; + \infty )\)khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y' = {{ - {m^2} + 4} \over {{{(x - m)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \cr} \)
b) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
\(y' = {{ - {m^2} + 5m - 4} \over {{{(x + m)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 5m-4 < 0\)
\(\left[ \matrix{
m < 1 \hfill \cr
m > 4 \hfill \cr} \right.\)
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y' = - 3{x^2} + 2mx - 3 \le 0 \Leftrightarrow ' = {m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \cr
& \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \)
d) Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow ' = 4{m^2} - 36 \le 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \cr} \)
Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
a) \(3(c{\rm{os x - 1) + }}{\rm{2sin x + 6x = 0}}\)
b) \(4x + c{\rm{os x - 2sin x - 2 = 0}}\)
c) \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\)
d) \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)
Hướng dẫn làm bài
a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.
Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
b) Đặt \(y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2\)
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\) .
Hàm số liên tục trên \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) .
c) Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\), x ∈ R.
Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.
Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0
y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0
Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
d) Đặt y = x5 + x3 – 7
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0
Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\)
Mặt khác \(y' = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\)
=> Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\).
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh phương trình \({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất
(Đề thi đại học năm 2004)
Hướng dẫn làm bài:
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0
=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) .
Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\) ta thấy f(x) liên tục trên R
Mặt khác, \(f(1) = - 3 < 0,f(2) = 23 > 0\)
Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)
Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4
= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , \(\forall x \ge 1\)
Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\)
congdong.edu.vn