Lớp 12 - SBT Toán học Giải bài 1.49, 1.50, 1.51, 1.52 trang 36, 37 Sách bài tập Giải tích 12
Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y = 4x3 + mx (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.
Hướng dẫn làm bài:
a) \(y = 4{x^3} + x,y' = 12{x^2} + 1 > 0,\forall x \in R\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x0; y0) thì \(f'({x_0}) = 12x_0^2 + 1 = 13\) (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: \({x_0} = \pm 1\)
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là \(y = 13x \pm 8\)
c) Vì y’ = 12x2 + m nên : \(m \ge 0:y'' = - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)
+) Với \(m \ge 0\) ta có y’ > 0 (khi m = 0 ; y’ = 0 tại x = 0).
Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi \(m \ge 0:y'' = - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)
+) Với m < 0 thì \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)
Từ đó suy ra:
y’ > 0 với \( - \infty < x < - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \) và \(\sqrt {{{ - m} \over {12}}} < x < + \infty \)
y’ < 0 với \( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} < x < \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)
Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ),(\sqrt {{{ - m} \over {12}}} ; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ;\sqrt {{{ - m} \over {12}}} )\)
Bài 1.50 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: y = x3 + mx2 – 3 (1)
a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b) Chứng minh rằng phương trình: x3 + mx2 – 3 = 0 (2) luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.
c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) xác định và có đạo hàm trên R.
\(y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)\)
Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 2m} \over 3} \ne 0\)
Muốn vậy phải có \(m \ne 0\)
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + m{x^2} - 3) = + \infty \) và \(y(0) = -3 < 0.\)
Vậy với mọi m, phương trình x3 + mx2 – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm dương.
c) Phương trình f(x) = x3 + mx2 – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:
\(\eqalign{
& f(0)f( - {{2m} \over 3}) > 0 \cr
& \Leftrightarrow ( - 3)( - {{8{m^3}} \over {27}} + {{4{m^3}} \over 9} - 3) > 0 \cr&\Leftrightarrow 8{m^3} - 12{m^3} + 81 > 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{m^3} < 81 \Leftrightarrow m < 3\root 3 \of {{3 \over 4}} (m \ne 0) \cr} \)
Bài 1.51 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?
Hướng dẫn làm bài:
a)
\(\eqalign{
& y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5 \cr
& y' = - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6 \cr} \)
Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.
Ta xét các trường hợp:
+) \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 5 \hfill \cr} \right.\)
- Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.
- Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .
+) Với \({m^2} + 5m \ne 0\) Khi đó, y’ không đổi dấu nếu
\(\eqalign{
& \Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow - {5 \over 3} \le m \le 0 \cr} \)
- Với điều kiện đó, ta có \( - 3({m^2} + 5m) > 0\) nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.
Vậy với điều kiện \( - {5 \over 3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên R.
b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:
\(y'(1) = - 3{m^2} - 3m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 1 \hfill \cr
m = - 2 \hfill \cr} \right.\)
Mặt khác, \(y'' = - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)
+) Với m = 1 thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.
+) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho hàm số \(y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x\)
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = {3 \over 2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R \cr
& y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x \cr
& y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 \cr} \) .
+)Với a = 1, y’ = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua \( - {1 \over 2}\) . Hàm số không luôn luôn đồng biến.
+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi x mà tại đó \(y' \ge 0\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ge 2\)
(y’ = 0 chỉ tại x = -2 khi a = 2)
Vậy với \(a \ge 2\) hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:
\(\eqalign{
& y = 0 \Leftrightarrow x{\rm{[}}{{(a - 1){x^2}} \over 3} + ax + 3a - 2] = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{\rm{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 \cr} \)
y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:
\((a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Muốn vậy, ta phải có:
\(\left\{ \matrix{
a - 1 \ne 0 \hfill \cr
\Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 \hfill \cr
9a - 6 \ne 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ trên ta được:
\({{10 - \sqrt {28} } \over 9} < a < {2 \over 3};{2 \over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + \sqrt {28} } \over 9}\)
c) Khi \(a = {3 \over 2}\) thì \(y = {{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}\)
\(y' = {{{x^2}} \over 2} + 3x + {5 \over 2}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Vì
\(|{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}| = \left\{ \matrix{
{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2},{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} \ge 0 \hfill \cr
- ({{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}),{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} < 0 \hfill \cr} \right.\)
Nên từ đồ thị (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)
congdong.edu.vn