Bài 5 trang 29 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \( tan (x - 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}\);
b) \( cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\);
c) \( cos 2x . tan x = 0\);
d) \( sin 3x . cot x = 0\).
Giải
a)
Điều kiện \(x - 15^0\neq 90^0+k180^0\) hay \(x\neq 105^0+k.180^0.\)
\(tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0\), với điều kiện:
Ta có phương trình \(tan (x - 15^0) = tan30^0\)
\(\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)
\(\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)
b)
\(cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\), với điều kiện \(3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\) hay \(x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})\)
Ta có phương trình \(cot (3x - 1) = cot(-\frac{\pi }{6})\)
\(\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\)
c)
\(cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\), với điều kiện \(cosx\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\), ta có phương trình: \(cos2x . sinx = 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)
d)
\(sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\), với điều kiện \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.\pi (k\in \mathbb{Z})\)
Ta có phương trình \(sin3x.cos = 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})\)
So sánh với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m,m \in \mathbb{Z}\) thì \(x = m\pi \Rightarrow \sin x = 0\) không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\frac{k \pi}{3}\) và \(x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})\)
Bài 6 trang 29 sgk giải tích 11
Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(y = tan2x\) bằng nhau?
Giải:
Giá trị của các hàm số: \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\) và \(y=tan 2x\) bằng nhau khi:
Ta có \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình có nghiệm:
\(x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\)
Bài 7 trang 29 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \(sin 3x - cos 5x = 0\) ;
b) \(tan 3x . tan x = 1\).
Đáp án :
a)
\(sin 3x - cos 5x = 0 \Leftrightarrow cos 5x = sin 3x\)
\(\Leftrightarrow cos 5x = cos (\frac{\pi }{2} - 3x)\)
\(\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 5x= \frac{\pi }{2}-3x+k2 \pi \\ \\ 5x =- \frac{\pi }{2}+3x +k2 \pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} \\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +k\pi \end{matrix}, (k\in Z)\)
Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})\)
b)
\(tan 3x . tan x = 1\)
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. (k\in \mathbb{Z})\)
\(tan3x.tanx=1\Rightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Rightarrow tan3x=cotx\)
\(\Leftrightarrow tan3x=tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )\)
\(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k \pi(k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\).
congdong.edu.vn