Lớp 11 - Toán học - Nâng cao Giải bài 55, 56, 57, 58 , 59, 60, 61, 62 trang 177, 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 55 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
a. \({u_n} = {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}}\)
b. \({u_n} = {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}}\)
c. \({u_n} = - 2{n^2} + 3n - 7\)
d. \({u_n} = \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \)
Giải:
a. Ta có:
\(\eqalign{
& \lim {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}} = \lim {{{n^3}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr
& = \lim {{2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \over {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim \left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right) = 2\,\text{ và }\,\lim \left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right) = 0;5n - 1 > 0 \cr} \)
b.
\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}} = \lim {{{n^2}\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over {{n^2}\left( { - 2 + {3 \over {{n^2}}}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over { - 2 + {3 \over {{n^2}}}}} = - {1 \over 2} \cr} \)
c.
\(\eqalign{
& \lim \left( { - 2{n^2} + 3n - 7} \right) = \lim {n^2}\left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - \infty \cr
& \text{vì }\,\lim {n^2} = + \infty \,\text{ và }\,\lim \left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - 2 < 0 \cr} \)
d.
\(\eqalign{
& \lim \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} = \lim {n^3}.\root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim {n^3} = + \infty \,\text{ và }\,\lim \root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = 1 > 0 \cr} \)
Câu 56 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn của các dãy số (un) với :
a. \({u_n} = \sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} \)
b. \({u_n} = {{{4^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {{3.5}^n}}}\)
Giải:
a.
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} } \right) \cr
& = \lim {{3n - 1 - \left( {2n - 1} \right)} \over {\sqrt {3n - 1} + \sqrt {2n - 1} }}\cr & = \lim {n \over {\sqrt n \left( {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} } \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt n } \over {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} }} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim \sqrt n = + \infty \cr &\text{ và }\,\lim \left( {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} } \right) = \sqrt 3 + \sqrt 2 > 0 \cr} \)
b. Chia cả tử và mẫu của un cho 5n ta được :
\(\lim {u_n} = \lim {{{{\left( {{4 \over 5}} \right)}^n} - 1} \over {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 3}} = - {1 \over 3}\)
Vì \(\lim {\left( {{2 \over 5}} \right)^n} = 0; \lim {\left( {{4 \over 5}} \right)^n} = 0\)
Câu 57 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho một cấp số nhân (un), trong đó
\(243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.\)
a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.
b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u1.
Giải:
a. Ta có: \({u_8} = {u_3}{q^5}\) với q là công bội của cấp số nhân.
Thay vào đẳng thức đã cho, ta được :
\(243{u_3}{q^5} = 32{u_3}\)
Vì u3≠ 0 nên : \({q^5} = {{32} \over {243}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^5} \Leftrightarrow q = {2 \over 3}\)
b. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}.\)
Từ đó, ta có :
\({3^5} = {{{u_1}} \over {1 - {2 \over 3}}},\text{ do đó }\,{u_1} = {3^4} = 81\)
Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giới hạn của dãy số (un) xác định bởi
\({u_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}.\)
Hướng dẫn : Với mỗi số nguyên dương k, ta có
\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)
Giải:
\({u_n} = \left( {1 - {1 \over 2}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 3}} \right) + ... \)
\(+ \left( {{1 \over {n - 1}}}-{1 \over n} \right) + \left( {{1 \over n} - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1 - {1 \over {n + 1}}\)
Do đó \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1\)
Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
Giải:
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} = \root 3 \of {{{32 - 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} = \root 3 \of {{{27} \over 8}} = {3 \over 2}\)
b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 - {1 \over x}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 - {1 \over x}}} = - {1 \over 2} \cr} \)
c. Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { - 2}} = - 41 < 0\,\cr&\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {1 \over {x + 3}} = - \infty \cr & \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)
d.
\(\eqalign{
& \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr
& \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = + \infty \cr} \)
e. Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được :
\(\eqalign{
& {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} = {{8 + 2x - 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr
& = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} = {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \cr
& \forall x > - 2 \cr} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)
f.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x\left( {1 - {4 \over x}} \right)} \over { - x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr
& = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} = - {1 \over 2} \cr} \)
Câu 60 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\)
Có liên tục trên \(\mathbb R\) không ?
Giải:
Hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x ≠ -2\).
Với \(x ≠ -2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3 = f\left( { - 2} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại \(x = -2\), do đó f liên tục trên \(\mathbb R\).
Câu 61 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\,\text{ với }\,x < 2} \cr {mx + m + 1\,\text{ với }\,x \ge 2} \cr} } \right.\)
Liên tục tại điểm \(x = 2\)
Giải:
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1 = f\left( 2 \right) \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \)
f liên tục tại mọi \(x ≠ 2\). Do đó :
f liên tục trên \(\mathbb R ⇔\) f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \)
\(\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = - {1 \over 6}\)
Câu 62 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng phương trình
\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2).
Giải:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 5x - 6\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right].\) Ta có: \(f(1) = -3 < 0\) và \(f(2) = 8 > 0\)
Từ đó \(f(1).f(2) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (1 ; 2)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.
congdong.edu.vn