Lớp 11 - Toán học - Nâng cao Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 1 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Trong trường hợp nào thì : d trùng d’ ? d song song với d’ ? d cắt d’ ?

Giải

Nếu \(\overrightarrow u \) là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d’

Nếu \(\overrightarrow u \) không là vecto chỉ phương của d thì d // d’

d không bao giờ cắt d’

Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.

Giải

Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a’, phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AA'} \) biến a thành a’. Đó là tất cả những phép tịnh tiến cần tìm

Câu 3 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\,\text{ và }\,{T_{\overrightarrow v }}\).Với điểm M bất kì, \({T_{\overrightarrow u }}\) biến M thành điểm M’,\({T_{\overrightarrow v }}\) biến M’ thành điểm M”. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M” là một phép tịnh tiến.

Giải

Ta có :

\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow u }}:M \to M' \cr
& {T_{\overrightarrow v }}:M' \to M \cr} \)

Suy ra :\(\overrightarrow {MM'} = u,\overrightarrow {M'M} = \overrightarrow v \)

Do đó : \(\overrightarrow {MM} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \)

Câu 4 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} .\)

Giải

Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \) nên phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow {AB} \) biến M thành M’. Nếu gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức \(\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AB} \) thì quỹ tích M’ là đường tròn tâm O’ có bán kính bằng bán kính đường tròn (O).

Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \(\alpha ,a,b\)là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\), trong đó

\(\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

a. Cho hai điểm \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi \(\alpha = 0\), chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Giải

a) M’ có tọa độ \({(x_1},{\rm{ }}y{_1})\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

N’ có tọa độ \({(x_2},{\rm{ }}y{_2})\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

b) Ta có \(d=MN=\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

\(\eqalign{
& d' = M'N' = \sqrt {{{\left( {x{'_1} - x{'_2}} \right)}^2} + {{\left( {y{'_1} - y{'_2}} \right)}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\cos \alpha - \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\sin \alpha + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\cos \alpha } \right]}^2}} \cr
& = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr
& = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \cr} \)

c) Từ câu b suy ra \(MN=M'N'\) do đó \(F\) là phép dời hình.

d)

\(Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{
x' = x + a \hfill \cr
y' = y + b \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(F\) là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right).\)

Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:

- Phép biến hình \({F_1}\) biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {y; - x} \right)\)

- Phép biến hình \({F_2}\) biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {2x;y} \right)\)

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?

Giải

Lấy hai điểm bất kì \(M = ({x_1};{\rm{ }}{y_1})\) và \(N({x_2};{y_2})\) khi đó

\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

Ảnh của M, N qua F₁ lần lượt là \(M' = ({y_1}; - {x_1})\) và \(N' = ({y_2}; - {x_2})\)

Như vậy ta có: \(M'N' = \sqrt {{{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_1} + {x_2}} \right)}^2}} \)

Suy ra \(M’N’ = MN\), vậy F₁ là phép dời hình

Ảnh của M, N qua F₂ lần lượt là \(M' = (2{x_1};{\rm{ }}{y_1})\) và \(N' = (2{x_2};{y_2})\)

Như vậy ta có: \(M'N' = \sqrt {4{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

Từ đó suy ra : nếu \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(M’N’≠ MN\), vậy F₂ không phải là phép dời hình

                                                                                                       congdong.edu.vn